2013版高考数学一轮复习精品学案：7.2空间点、线、面之间的位置关系

2013版高考数学一轮复习精品学案：第七章 立体几何

7.2空间点、线、面之间的位置关系

【高考新动向】

一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、考纲点击

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理；

（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 2、热点提示

（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力； （2）通过判断位置关系，考查空间想象能力； （3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题； （4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、考纲点击

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理； （2）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。 2、热点提示

（1）对线线平行、线面平行和面面平行的考查是高考的热点；

（2）平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现，考查对与平行有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解和运用，题目难度较小；

（3）平行关系的证明及运用，多以解答题的形式出现，主要考查有关定理、性质的运用及各种平行关系的相互转化，题目有一定的综合性，常与垂直的证明、空间角的求法及空间向量结合在一起考查，属低中档题．

三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、考纲点击

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； （2）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。 2、热点提示

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（1）垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；

（2）线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；

（3）通过线面角、二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现，难度中等.

【考纲全景透析】

一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 即：

2、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类

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相交直线共面直线 平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)平行公理和等角定理 ①平行公理：

平行于同一条直线的两条直线平行．用符号表示：设a,b,c为三条直线，若a∥b,b∥c，则a∥c． ②等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （3）异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a∥a,b∥b,把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

②范围：0，

’

’

’

’

23、直线和平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 直线a 在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 没有公共点 a aA a// 第3页（共30页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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图形表示 4、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 // 0 斜交 两平面相交 a 有无数个公共点在一条直线上  垂直 5、平行公理

有无数个公共点在一条直线上 a 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）

6、定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定与性质 （1）判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； （2）性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； 2、平面与平面平行的判定与性质 （1）判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； （2）性质定理：

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如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

注：能否由线线平行得到面面平行？（可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行）

三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直

（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直； （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； 2、二面角的有关概念

（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

3、平面与平面垂直

（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；

（2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注：垂直于同一平面的两平面是否平行？（可能平行，也可能相交） 4、直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 当直线与平面垂直和平行（含直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为90和0。

0

0

【热点难点全析】

一、空间点、直线、平面之间的位置关系 （一）异面直线的判定 ※相关链接※

证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作）

2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。

3、客观题中，也可用下述结论：

过平面处一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：

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※例题解析※

〖例〗如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：

（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。

思路解析：（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。

解答：（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A

CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM

和CN不是异面直线。

（2）是异面直线。证明如下：

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线

（二）平面的基本性质及平行公理的应用 ※相关链接※

1、平面的基本性质的应用

（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；

（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论：

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（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题

证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。

（2）线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

（3）证明点线共面的常用方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

※例题解析※

〖例〗如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90，BCG、H分别为FA、FD的中点。

0

1AD，BE21FA，2

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形； （2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？ 思路解析：（1）G、H为中点GH

1AD，又BC21AD GH2'BC；（2）方法一：证明

D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M，可证M与 M重合，从而FE与DC相交。

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解答：（1）

由已知FGGA,FHHD,可得GH//（2）方法一：

11AD.又BC//AD,GH//BC,四边形BCHG为平行四边形。221AF,G为FA中点知，BE//FG,四边形BEFG为平行四边形，2 EF//BG.由(1)知BG//CH,EF//CH,EF与CH共面.BE//又DFH,C、D、F、E四点共面.方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M，∵BE

'1AF，∴B为MA中点。∵BC21'''AD，∴B为MA中点，∴M与M重合，即FE与DC交于点M（M），∴C、D、F、E四点共面。 2

（三）异面直线所成的角

〖例〗空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。

0

思路解析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。

解答：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。

∵ＡＢ与CD所成的角为30，∴∠ＥＧＦ=30或150。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=30时，∠GEF=75；当∠ＥＧＦ=150时，∠GEF=15。故EF与AB所成的角为15或75。

注：（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；

（2）求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线；

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②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角。 二、直线、平面平行的判定及其性质 （一）直线与平面平行的判定 ※相关链接※

判定直线与平面平行，主要有三种方法： （1）利用定义（常用反证法）；

（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。

（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。 注：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。 ※例题解析※

〖例〗如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE//CF，∠BCF=90，求证：AE//平面DCF

0

思路解析：作EG⊥CF于GAD//EGAE//DGAE//平面DCF 解答：过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形。

又ABCD为矩形，所以AD//EG，从而四边形ADGF为平行四边形，故AE//DG。因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE//平面DCF

（二）平面与平面平行的判定

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※相关链接※

判定平面与平面平行的常用方法有： （1）利用定义（常用反证法）；

（2）利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；

（3）利用面面平行的传递性：

////. //（4）利用线面垂直的性质：※例题解析※

l//。 l〖例〗如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF//平面BCGH

思路解析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行判定定理即可证明。

解答：ΔABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF//BC。又∵EF平面BCGH，BC平面BCGH，∴EF//平面BCGH。又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1G//FC。∴四边形A1FCG为平行四边形。∴A1F//GC。又∵A1F平面BCGH，CG平面BCGH，∴A1F//平面BCGH。又∵A1F∩EF=F，∴平面A1EF//平面BCGH

（三）直线与平面平行的性质及应用

〖例〗如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大。

思路解析：先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值。

解答：∵AB//平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB//FG，AB//EH，∴FG//EH，同理可证EF//GH，∴截面EFGH是平行四边形。设AB=a,CD=b,∠FGH=α（α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）。

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xCGyBG,, 又设FG=x.GH=y,则由平面几何知识可得aBCbBCxyb两式相加得1,即y(ax)

ababbsinx(ax). ∴SEFGHFGGHsinx(ax)sinaa∵x0,ax0且x(ax)a为定值， ∴当且仅当xax时，

bsinabsinax(ax)取最大值，此时x，即当截面EFGH的顶点a42E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大。

注：利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找（或作）过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现平行转化。至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题。

（四）平面与平面平行的性质及应用 ※相关链接※

平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系如图：

性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。

※例题解析※

〖例〗已知，平面α//平面β，AB、CD夹在α、β之间，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF//α，EF//β

思路解析：通过作辅助平面，利用面面平行得到线线平行，再证线面平行。

解答：当AB和CD共面时，经过AB、CD的平面与α、β分别交于AC、BD。∵α//β，∴AC//BD。又∵AE=EB，CF=FD，∴EF//AC。∵ACα，EFα，∴EF//α，同理EF//β，当AB和CD异面时，如图：

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在CD现E所确定的平面内，过点E作CD//CD与α、β分别交于点C、D。经过相交直线AB和CD

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‘

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‘’

‘’

‘

’

‘’

作平面分别交α、β于AC、BD。∵α//β，∴AC//BD，又AE=EB，∴CE=ED。∵CD//CD，∴经过C

‘’

D和CD作平面与α、β分别交于CC和DD。∵α//β，∴CC//DD。

在平面四边形CDDC中，∵CE=ED，CF=FD，∴EF// DD。∵DDβ，EFβ，∴EF//β，同理

‘’

‘

’

’

’

‘’‘’

EF//α。

三、直线、平面垂直的判定及其性质 （一）直线和平面垂直的判定和性质 ※相关链接※

证明直线和平面垂直的常用方法有： （1）利用判定定理；

（2）利用平行线垂直于平面的传递性（3）利用面面平行的性质（4）利用面面垂直的性质。

当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。 ※例题解析※

〖例〗如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCD。

思路解析：

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解答：如图，取PD的中点E，连接AE，NE。

（二）平面与平面垂直的判定 ※相关链接※

证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。

面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，

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其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.

※例题解析※

〖例〗如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEAF=λ(0<λ<1). ACAD

(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；

(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由. 【方法诠释】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由平面BCD可证得结论成立.

(2)由EF∥CD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，而这样的平面一定存在，故只需计算出λ即可.

解析：(1)EF⊥平面ABC.

证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， 在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD， 又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC， 在△ACD中

AEAF知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥ACADAEAF=λ(0<λ<1)， ACAD∴EF∥CD， ∴EF⊥平面ABC.

(2)∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，

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∴BE⊥CD，

故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC. 在Rt△ABD中，∠ADB＝60°， ∴AB＝BDtan60°＝6， 则ACAB2BC27， 当BE⊥AC时，BE＝ABBC6 ＝，AC736 ，7AEAB2BE236AE6AE6＝时，BE⊥AC， 则＝7＝，即＝AC7AC77又BE⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BE⊥平面ACD， ∵BE⊂平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ACD. 所以存在λ＝

（三）平面与平面垂直性质的应用 ※相关链接※

(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. ※例题解析※

〖例〗如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=45。

6时，平面BEF⊥平面ACD. 7第15页（共30页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （2）求四棱锥P-ABCD的体积。

思路解析：（1）因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD；

（2）四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离。 解答：（1）在ΔABD中，

（2）过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=23。

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注：（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。

（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。

（四）线面角、二面角求法 ※相关链接※

高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查。

求这两种空间角的步骤：

根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）

认（指）求。

在客观题中，也可用射影法：

设斜线段AB在平面α内的射影为A’B’,AB与α所成角为θ,则cosθ=

A'B'AB.

设ΔABC在平面α内的射影三角形为A'B'C',平面ABC与α所成角为θ,则cosθ=

SA'B'C'.

SABC※例题解析※

〖例〗三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。

（1）证明：平面GFE//平面PCB； （2）求二面角B-AP-C的正切值；

（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。 思路解析：（1）利用三角形的中位线性质； （2）利用定义作出二面角B-AP-C的平面角； （3）利用线面垂直构造直线与平面所成角。

解答：（1）因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EF//BC，GF//CP。因为EF，GF平面PCB，

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所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。

（2）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。因为BC⊥PC，

BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=2155，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。 22255（3）如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，因为ΔPCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=2，FM=

1，所以3122sin∠MPF=3=.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是

626【高考零距离】

1、（2012·安徽高考文科·Ｔ15）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，

ADBC，则________(写出所有正确结论编号)。

①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180 ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分[来源:Z*xx*k.Com] ⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解题指南】作出立体图，根据点线面的位置关系判断.

【解析】可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的

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。。 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则①需要满足xyz，才能成立；②因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证）；正四面体的同一顶点处三个角之和为

180，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180，③显然不成立；

④可由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断其正确性；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立. 答案：②④⑤

2. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ19）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠1

ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

2(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

C1

A1

B1

D

C A B

【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证平面BDC1⊥平面BDC，可证DC1 平面BCD；

（2）平面BDC1分棱柱下面部分BADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比。 解:(I)由题设可知BCCC1,BCAC,CC1又DC1平面ACC1A1,所以DC1BC.

由题设知A1DC1ADC45,所以CDC190,即DC1DC.又DC所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1,故平面BDC1平面BDC.

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ACC,所以BC平面ACC1A1.

BCC,

世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com (II)设棱锥BDACC1的体积为V1,AC1.由题意得

1121V111322

V-V1:V1=1:1又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,所以. 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1:1. 3．（2012·辽宁高考文科·T18）(12分)

如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，

///ABAC2,AA′=1，点M，N分别为A/B和B/C/的中点。

(Ⅰ)证明：MN∥平面AACC; (Ⅱ)求三棱锥AMNC的体积。 （椎体体积公式V=

///1Sh,其中S为地面面积，h为高） 3【解题指南】由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；通过变换顶点，将三棱锥转化为底面积和高已知或易求的形式，求得体积

【解析】（1）连结AB,AC,由已知M为AB的中点，N为BC的中点，所以MN为三角形ABC的中位线，故MN∥AC,又MN平面AACC，AC平面AACC， 因此MN平面AACC

（2）连结BN,由题意，AN⊥BC,平面ABC平面BBCCBC, 1所以AN平面BBCC,即AN平面NBC,故VAMNCVNAMCS3AMCh

又SAMC1S2ABC1111,所以VAMNCVNAMCVNABCVANBCSNBCAN

2223因为BAC90,BABC2,所以BCBC2 SNBC111BCBB211,ANBC1， 222NBC11所以VAMNCVNAMCS23AN1 64．（2012·广东高考文科·Ｔ18）

如图5所示，在四棱锥PABCD中，

AB平面PAD,AB//CD,PDAD,E是

PB的中点，F是CD上的点，且DF1AB,PH2为

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PAD中AD边上的高。

（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH1求三棱锥EBCF的体积； ，AD2，FC1，（3）证明：EF平面PAB.

【解题指南】 （1）证明线面垂直利用判断定理需证线线垂直，本小题易证：

ABPH,PHA. D(2)解决本小题的关键是由（1）知BDAC，再结合矩形ABCD，进而确定四边形ABCD是正方形。

然后可以利用空间向量法也可以利用传统方法找（或做）出二面角的平面角求解即可. (3)解决本题的第一个难点是证ABEF,通过取AB的中点M，证AB平面EFM即可。 第二个难点是证EFPB，需证PFBF，进一步需证：RtFMBRtPDF即可。 【解析】(1)

AB平面PAD,PH平面PAD, PHAD且ADABPH,又ABA

PH平面ABCD

11112（2）V三棱锥EBCFV三棱锥PBCF121.

223212(3)连接PF，HF，取AB的中点M连接FM，EM，因为E为PB的中点，DF\\\\1AB,所以ＥＭ//PA, 2四边形EFMA为平行四边形，所以FM//AD,又因为AB平面PAD,所以ABAD,ABPA, 所以ABFM,ABEM,且EMFMM,所以AB平面EFM,所以ABEF。

又因为CD//AB,所以CD平面PAD,CDPD，所以RtFMBRtPDF, 所以PFBF，又因为E为PB的中点，所以EFPB,又PB所以EF平面PAB.

5．（2011·辽宁高考理科·Ｔ8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不．正确的是 ．．

(A) AC⊥SB

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ABB，

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(B) AB∥平面SCD

(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【思路点拨】先逐项分析，再判断结论． 【精讲精析】选D. 选具体分析 项 四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD，又SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，从而AC⊥A 面SBD，故AC⊥SB． B C 面SBD所成的角SCA AB与SC所成的角为SCD，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为D 直角，二者不相等．

6．（2011·浙江高考理科·Ｔ4）下列命题中错误的是

（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 （B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 （C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，l，那么l⊥平面 （D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系.

【精讲精析】选D.如果平面⊥平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其它与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的．

7．（2011·江苏高考·Ｔ16）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

确 不正由AB∥CD，可得AB∥平面SCD． 选项A中已证得AC⊥面SBD，又SA=SC，所以SA与平面SBD所成的角SAC等于SC与平正确 正确 正确 结论 AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD 第22页（共30页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直，解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需要的条件，注意要把所需的条件摆充分. 【精讲精析】

(1) 在PAD中，因为E,F分别是AP,AD的中点，所以EF//PD，又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF//平面PCD.

(2)连结BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为等边三角形.因为F分别是AD的中点，所以

BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD,又因为平面PAD平面ABCDAD,

所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.

【考点提升训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) (A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直

2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )

(A)A，M，O三点共线

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(B)A，M，O，A1不共面 (C)A，M，C，O不共面 (D)B，B1，O，M共面

3.（预测题）设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题中正确的是（ ） （A）若m∥α,m∥n,则n∥α

（B）若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β，则α∥β （C）若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n∥β （D）若α⊥β,m⊥α,n∥m,n β,则n∥β 4.（2012·莆田模拟）已知m,n是不同的直线，α,β是不重合的平面，给出下列命题 ①若m∥α,则m平行于平面α内的无数条直线 ②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n ③若m⊥α,n⊥β,m∥n则α∥β ④若α∥β,m⊂α,则m∥β 其中正确命题的个数是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( ) (A)α⊥β，α∩β=l，m⊥l (B)n⊥α，n⊥β，m⊥α (C)α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ (D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

6.(2012·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 二、填空题(每小题6分，共18分)

7.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_______对．

8.(2012·晋城模拟)已知l、m、n是互不相同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α,m⊂β,则l∥m；

③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.

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其中所有真命题的序号为____________.

9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则

①棱AB与PD所在的直线垂直； ②平面PBC与平面ABCD垂直； ③△PCD的面积大于△PAB的面积； ④直线AE与直线BF是异面直线.

以上结论正确的是__________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(每小题15分，共30分)

10.（易错题）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．

11.(2012·大庆模拟)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点. (1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1； (2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求

A1E的值. EC1

【探究创新】

(16分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点.

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(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论； (3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

答案解析

1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

2.【解析】选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC， ∴A1,C1,A,C四点共面， ∴A1C⊂平面ACC1A1，

∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1， ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上. ∴A，M，O三点共线.

3.【解析】选D.由m∥α,m∥n可推得n∥α或n⊂α，故A错误；由m⊂

α,n⊂α,m∥β，n∥β不能推出α∥β，缺少条件m与n相交，故B错误；由α⊥β,m⊥α,m⊥n，n与β的位置关系可能平行，可能相交，也可能n⊂β，故C错误；只有D正确.

4.【解析】选C.由线面平行的定义可知①正确；②中m与n可能平行，也可能异面，故②错误；由面面平行的判定可证明③正确；由面面平行的性质可知④正确，综合上述①③④正确，选C.

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5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α,n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.

6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形，确定出所求的线面角是解题的关键，然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.

【解析】选A.如图，二面角α-l-β为45°，AB⊂β， 且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H. 连接OH、OB，则∠AHO为二面角α-l-β的平面角， ∠ABO为AB与平面α所成角.不妨设AH=2，在 Rt△AOH中，易得AO=1；在Rt△ABH中，易得AB=2. 故在Rt△ABO中，sinABOAO1，∴∠ABO=30°，为所求线面角. AB27.【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线， 则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线 对的直线有4条，分别是A′B,BC′,A′D,C′D，正方体 的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有

12424对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)． 2答案：24

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8.【解析】①中，当α、β不平行时，也可能存在符合条件的l、m；②中的直线l、m也可能异面；③中由l∥γ,l⊂β,γ∩β=m得l∥m,同理l∥n,故m∥n. 答案：③

9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD=

11CD·PD，S△PAB=AB·PA，由AB=CD，22PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错. 答案：①③

10.【解题指南】根据公理3，确定两平面的两个公共点即可得到交线． 【解析】在平面AA1D1D内，延长D1F， ∵D1F与DA不平行，

∴D1F与DA必相交于一点，设为P， 则P∈D1F,P∈DA.

又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD， ∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB, ∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．

11.【解析】(1)取B1C1中点G，连接EG、GD， 则EG∥A1B1，DG∥BB1，

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又EG∩DG=G，∴平面DEG∥平面ABB1A1， 又DE⊂平面DEG， ∴DE∥平面ABB1A1.

(2)设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF. 因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1， 所以A1B∥EF.所以

A1EBF. EC1FC1又因为

BFBD1AE1，所以1. FC1B1C12EC12【探究创新】

【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度. (2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.

(3)找到二面角的平面角，在三角形中利用余弦定理求解.

【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

1122

S正方形ABCD·PC=×1×2=， 3332即四棱锥P－ABCD的体积为.

3∴VP－ABCD=

(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.

证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC.

∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PC.

又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC.

∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.

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∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.

(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF. ∵AD=AB=1，DE=BE=12＋12=2，AE=AE=3， ∴Rt△ADE≌Rt△ABE， 从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE. ∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角. 在Rt△ADE中，DFADDE126AE33， ∴BF= 63. 又BD= 2，在△DFB中，由余弦定理得

cosDFBDF2BF2BD22DFBF122，∴∠DFB=3，

即二面角D－AE－B的大小为23.

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