威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验(精)

1993212227收到 , 1995206215收到修改稿

威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验

徐自力 姜兴渭

(哈尔滨工业大学 , 哈尔滨 , 150001

THE EST I M AT I ON OF CONF I D ENCE L I M IT OF W E IBULL THREE PARA M ETER

D ISTR IBUT I ON AND EXA M INAT I ON OF D ISTR IBUT I ON T Y PE

Xu Zili , J iang X ingw ei

(H arbin Institute of T echno logy , arbin 150001

摘 要 布检验判别式 , 。 V 14, V 21517

Abstract A calculati on fo r m ula of po int esti m ati on fo r W eibull th ree

param eter distributi on is given . Based on the analysis p rinci p le of significance of linear regressi on , the exam inati on crite 2ri on of W eibull distributi on is derived . A fter studying the W eibull th ree param eter distributi on law , a m athem atical exp ressi on to deter m ine param eters confidence li m it is deduced . Key words W eibull distributi on exam inati on of distributi on confidence li m it

威布尔分布函数 [1~3]为

F (t =1-

exp [-(t -

r m t 0]

(1

式中 :t 0为尺度参数 ; r 为位置参数 ; m 为形状参数 。 分布类型检验及三参数置信限估计 很少有人研究 。 为此 , 本文对文献 [1]的相关系数优化法作了进一步简化和改进 ; 利用线性回 归显著性分析得到了威布尔分布检验判别式 ; 在分析了各参数分布规律后 , 给出了各参数置 信限的数学表达式 。 本法便于编程及工程应用 。 1 三参数点估计

对式 (1 变形并取两次自然对数

ln ln

1-F (t =m ln (t -r -

ln t 0(2 令 ln ln

1-F (t =Y ; ln (t -r =X

(3 -ln t 0=A ; m =B

(4 则式 (2 可写成

Y =A +B X

(5

根据已知试验数据 t 1≤ t 2≤…≤ t n , 可计算得到 n 组数据 (X i , Y i , i =1, 2, … , n , 利用文献 [2]线性回归法确定出待定参数 A , B 如下

A =Y ϖ-B X

{(6 第 17卷 第 4期 1996年 7月 航 空 学 报 A CTA A ERONAU T I CA ET A STRONAU T I CA S I N I CA

V o l . 17N o. 4

July 1996

B =cov (X , Y D (X (7

式中 :X {为 X i 的均值 ; Y ϖ为 Y i 的均值 ; cov (X , Y 为随机变量 X , Y 的协方差 ; D (X 为

随机变量 X 的方差 。

根据文献 [2]随机变量 X , Y 的相关系数为 Θ=cov (X , Y D X D Y (8 式中 :D (Y 为随机变量 Y 的方差 。

由上可知 A , B , Θ都是 r 的函数 。 由威布尔分布函数定义知 , r 应该使随机变量 X , Y 完 全成线性即相关系数等于 1, 事实上数据存在分散性 , r 应是 X 和 Y , 写成数学表达式为

d r (9 亦即 Θ2d 2D (

(10 r 值 , 具体显式化和解的步骤在此不再赘述 。

r 后 , 可用式 (6 、 式 (7 求出 A , B 的估计值 A δ, B δ; 再用式 (4 可得到形状 参数 m 的估计值 m δ和尺度参数 t 0估计值 t δ0。 2 威布尔分布检验

大多数试验数据只能近似服从威布尔分布 , 那么在什么情况下认为数据服从威布尔分 布 , 是下面研究的内容 。

(1 B δ的分布规律 上节所用线性回归法原理基于这样假设 [2]

Y =A +B X +Ε; Ε~N (0, Ρ2

(11 由式 (7 知 B 的一个估计量为

B δ=

∑ n

j =1

C j

Y

j

(12

由于 Y 1, Y 2, … , Y n 是相互独立的正态随机变量 , 从式 (12 可知 B δ也服从正态分布 。 可以计 算出 B δ的均值为 B , B δ的方差为 Ρ2

∑ n

i =1

(X

i

-X

{ 2。 (2 A δ的分布规律 由式 (6 知 A 的一个估计值为 A δ=n

∑ n i =1

Y i -B δn

∑ n i =1

X

i

(14

由上式知 A δ为正态随机变量的线性组合 , 即 A δ也是正态随机变量 , 可求出其均值为 A ,

方差为 n

Ρ2+∑ n i =1X 2i Ρ2n 2∑ n

i =1

(X i -X

{ 2。 (3 Ρ2估计及分布 考察 Y i 和回归值 Y

i 的离差平方差和 SSD SSD =∑ n

i =1(Y i -Y i 2=

∑ n i =1

(Y i -Y ϖ

2-B δ∑ n

i =1

(X i -X { 2

(15

SSD 的均值为

E (SSD =(n -

2 Ρ2

(16

表明 SSD

(n -2 是 Ρ2的无偏估计 , 记为 Ρ

δ2=SSD (n -2 =n -2

∑ n

i =1

(Y

i

-Y

i 2

874航 空 学 报 第 17卷

通过研究 , 知变量 Y i -Y i i =1, 2, … , n , 仅有 n -2个是独立的 。δ2的自由度为 n -2, 所 以得到

Ρ

因此 Ρ

2

Ρδ2

~X 2(n -2 (17 还可证明 B δ和 Ρ

δ2相互独立 。 (4 分布检验判别式 如果试验数据在显著性水平 Α下服从威布尔分布 , X , Y 回归

效果是显著的 , 否则回归效果不显著 。 根据 B δ和 Ρ

δ2分布规律及 B δ和 Ρδ2相互独立得 B δ

-B

Ρ

∑ n

i =1

(X

i

-X

{(n -2 (18

如果

2n

i =i 2

(n -2 (19

Α下 , , 即在显著性水平 Α下 , 数据服从威布尔分布 。 3 分布参数置信限

(1 t 0(尺度参数 区间估计 A δ服从正态分布 , 容易得到下式

δD (A

~t (n -1 故给定置信度 100(1-Α

◊ 的置信区间为 exp [-A δ-t Α(n -1 D (A ^ n 2], exp [-A ^+t Α(n -1 D (A ^

n 2]

(20

(2 m (形状参数 的区间估计 由式 (18 可得 B 的 100(1-Α

◊ 置信区间为 B δ

±

2

(n -2 Ρ

δ∑

n

i =1

(X i -X

{ 2

(21

4 应用举例

某种型号 8台汽轮机投入运行后 , 第 14压力级叶片和轮缘均发生断裂损坏 , 其中 7台机组 首次失效时间依次为 8479, 11958, 16521, 21739, 23911, 27000, 30008h 。

相应失效率用中位近似秩公式为

F (t i =(i -013 (n +014 根据本文公式编制程序计算出在显著水平 012下数据符合威布尔分布 。 计算出各参数点

估计值为 m δ=11626, t δ0=8614226, r δ=423915形状参数 m 的 80◊ 置信限为 (11198, 21054 , 尺寸参数 t 0的 80◊ 置信限为 (1918021,

38688620 。

参 考 文 献

1 傅惠民等 . 确定威布尔分布三参数的相关系数优化法 . 航空学报 , 1990, 11(7 :323-3272 浙江大学数学系 . 概率论和数理统计 . 北京 :高等教育出版社 , 1986, 306-320

9

74第 4期 徐自力等 :威布尔分布三参数置信限估计及分布类型检验