高等数学竞赛浙江省2003经管类试卷

（摘自华工藏书：卢兴江 金蒙伟主编《高等数学竞赛教程》，浙江大学出版社） 一、计算题（每小题15分共60分）

cosxey1.已知xeysinx0,求y0.(提示:y0xey1y2)

x0y02.设Gxtsintdt,求Gxdx.(提示:分部I2G220x211cos8cos1) 33.求lim0x0sinxtdtx5x2.(提示:换元再用罗必塔法则xtu,duxdt要注意)

4.求

sinydxdy,其中D为0,0,0,1,1,1以为顶点的三角形区域(提示 yD1Idy0sinydx1cos1:) y0y二、（满分20）设a0,试讨论nan的敛散性,当级数收敛时,试求其和.(提

n1示:Sna,aSnann1n1n1,(1a)San,a1时Sn1a1a2,a1时发散)

三、（满分20分）设fx一阶连续可导fxfx0,证明:fx至多有一个零点.(提示: 用反证法)

四、（满分20分）求满足下列性质的曲线C:,设P0x0,y0为曲线y2x2上任一点,则由曲线xx0,y2x2,yx2所围成的面积A与曲线yy0,y2x2和C所围成的B面积相等.(提示:令c:yfxxfy01y,S12x2x2dx

0x0y0y32313111S2fydyy02f1ydyx0fy0 233300求导化为微分方程解出f1y328y,x322x) 93854233475.doc共2页第1页

2004五、（满分15分）证明:

20042200422003sint2dt111dcosw (提示:wt2,Il220032w20032004220042200421cosw1cosw1cosw11dwdw) 2w20032420032ww2w20032420032ww六、（满分15分）设函数x在0,1上连续,在内可导,且.00,11，证明:

存在0,1内的两个数与,使

123

(提示:由介值定理c0,1,fc

1,再由拉格朗值中值定理,) .33854233475.doc共2页第2页