河北工程大学高等数学下册练习册答案第七章微分方程

第一节微分方程的基本概念

1． 指出下列各微分方程式的阶数 1）x(y''')34y5y'x60 2）(7x6y2)dx(xy)dyey

2．设y(c1c2x)e2x.1）验证y是方程y''4y'4y0的解.2）求参数c1，c2使得它满足初始条件y(0)0，y'(0)1. 1）y'2c1e2x2c2xe2xc2e2x

y''4c1e2x2c2e2x4c2xe2x2c2e2x4c1e2x4c2e2x4c2xe2x y''4y'4y4c1e2x4c2e2x4c2xe2x 4(2c1e2x2c2xe2xc2e2x)4(c1c2x)e2x0

y是方程y''4y'4y0的解

2）y(0)00(c10)1c10

y'(0)1120e2x2c20e2xc2e0c21

所求满足初始条件的函数为yxe2x。

第二节 可能离变量的微分方程

1． 求下列微分方程的通解。

1）xyylnx0 解：原式可化为x22'dyylnx0 dx分离变量，得

dylnx2dx yxlnx1c1 xxc11lnxxx两端积分，得lny从而

ye1lnxc1xxeece1lnxxx（c为任意常数）

2）sinxdycosydx0 解：原式可化为

dycosy dxsinx分离变量，得

dydx cosysinxdydxcosysinx

两端积分，得

得lnsecytanylncscxcotxlnc1=lntancxlnc1ln1

x2tan2secytanyc1xtan2c（c为常数） senytanyxtan2'y2x

2． 求下列微分方程满足所给实始条件的特解。

1）ye解：

，y|x01

dyeye2x dxdye2xdx 分离变量，得dxy2x两端积分，得edyedx

1eye2xc（c为常数）

212xy即eec（c为常数）

2101准x0，y1代入通解eec

211解得c

e212x11特解为yln(e)

2e22）sinydx(12e)cosydy0，y(0)解方程可化为：

x4

dxcosydy

12exsiny两端积分dxcosydy x12esiny即lnsinyln(ex2)c1

sinyy(0)c（c为常数） ex24代入上式

sin4c32 ce022第三节 齐次方程

1.求下列齐次方程的通解

1）(x32xy2)dy(2y33yx2)dx0

yy3()()3dy3yx2yx（1） 解：3x2ydxx2xy12()2xydyduux令uyux（2）

xdxdx23把（2）代入（1），得

du3u-212u2duuxdu 2dx12u2ux12u2dudu两端积分，得 2ux11lnuu2lnxc 221y1y2lnlnxc 2x2x2dy3y(lnylnx) dxdyyy3ln（1） 解：dxxxy令uyux xdyduux（2） dxdx2）x把（2）代入（1），得uxdu3ulnu dxdudx

3ulnuuxdudx 两端积分3ulnuux1ln3lnu1lnxc（c为常数） 32. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解。

1)yyytan,y(1)1 xxdyyytan（1） 解：

dxxxy令uyux xdyduux（2） dxdxdududxutanu即把（2）代入（1）ux dxtanux'lnsinulnxlnc即lnsinulnxc

把x1,y1代入上式，得lnsin1ln1c 得clnsin1

特解为lnsinylnxlnsin1 xxy 2）(12e)dx2e(1)dy0,y|x01

yxxyxdy解：设u,ydxx2e(1)y(12e)yxxy2eu(u1) u12exuy,dyduuy dxdydu2eu(u1)即有uy udy12e2eu(u1)dy变量分离后，得 du12euyd(2euu)dy两端积分，得y 2euuln2euulnyc1

y(2euu)c（c为常数）

y(2e)c（c为常数）

2yexc代入x0,y1,c2得

特解为2yex2

xyxyxy第四节一阶线性微分方程

1．求下列微分方程的通解。 1）y'ycosxesinx 解对应齐次方程

dyycosx0 dxdycosxdx dx即lnysinxc，ycesinx 常数变易法yuesinx

dydusinxuesinx(cosx)e dxdxdusinxeesinx 代入原方程，得dxuxc

于是得所求通解为

cosxdssinxcosxdxdxcesinxxc yeee 2）(y6x)2dy2y0 dx(y26x)dy解： 2ydx即

dy31xy dxy2是一阶非齐次方程

dy3dy xylnx3nyc，xcy3

常数就易法xuy3（1）

dxduu3y3y3 dydyy3du1y dx2u11dyc 22y2y代入（1）式，得通解

1y3xy(c)cy3（c为任意常数）

2y232． 求微分方程

dyysinx，满足条件y|x1的特解。 dxxx11dxsinxdx解：yexexdxc xy11(sinxdxc)(cosxc) xx由y|x1，得c1 故特解为y1(1cosx) x5．求下列微分方程的通解。 1）xy2y3xy

4dy2y233xy 解：原式变为

dxx13'343y13dy21y33x2（1） dxx令zy代入（1），得

14dy1213yy3x2 3dx3x1d(y)123y3x2

dx3xdz2zx2 即为

dx3x变成了一阶线性微分方程

22dx3xdx23xzedxc (x)e2e13lnx32743333xdxcx(xc)

2即y233xcx3

7 2）xy'yy(lnxlny)

解：原式变为xdyyylnxy（1） dxu

令uxy，则y

x

dydx1duuu(xu)lnuxdxxx

xdyudx代入（1）式，得 2xdxdu xulnulnxlncln(lnu)

uecx，把uxy代入

xyecx即y

1cxe x