初中二次函数的解题方法

11.1班 沈阳 14号

初中二次函数的解题方法

首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式： 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;

顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴

y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：。

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像

的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧 2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。 有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。 常见问题

1、抛物线中特殊点组成的三角形问题： 抛物线线中的特殊三角形主要有两类： （1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。

解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。

2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两个解决办法：（1）特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点坐标。（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其

它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．

4、二次函数与整数问题

二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．

5、二次函数的最值问题

定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．

在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。

例1 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4，－11)，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a、b、c中为正数的（ ）

A、只有a

B、只有b

C、只有c

D、有a和b

解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x轴于两点，知a>0．设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x2<0知<0，所以c<0，又对称轴为x=4知－

b>0，故2acab<0．故选(A)．

例2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|<1000，则c= ．

解：由已知f(x)=ax2+bx+c，且f(19)=f(99)=1999，因此可设

f(x)=a(x－19)(x－99)+1999，

所以ax2+bx+c=a(x－19)(x－99)+1999

=ax2－(19+99)x+19×99a+1999，故c=1999+1881a． 因为|c|<1000，a是整数，a≠0，经检验，只有a=－1满足，此时c=1999－1881=118．

例3 已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A、B到原点的距离都小于1，

求a+b+c的最小值．

解：设A、B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1bxx0,12a∴∴x1<0，x2<0 xxc0,12a又由题设可知△=b2－4ac>0，∴b>2ac ①

∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，即－10， ∴a(－1)2+b(－1)+c>0，即a+c>b．

∵b，a+c都是整数，∴a+c≥b+1 ③ 由①，③得a+c>2

ac>1，acac+1，∴(ac)2>1，又由②知，

ca+1，即a>(c+1)2≥(1+1)2=4

∴a≥5，又b>2ac≥251>4，∴b≥5

取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意． 故a+b+c的最小值为5+5+1=11．

例4 如果y=x2－(k－1)x－k－1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

解：由于△=(k－1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，

x2，则：

|AB|=(x1x2)2(x1x2)24x1x2k22k5 又抛物线的顶点c因此

k1k22k5,坐标是()， 24k22k5112S△ABC=k2k5·(k22k5)3248

因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4，当k=－1时等于成立， 所以，S△ABC≥

例5

y 1341，故选8A．

已知二次函数y=x2－x－2及实数a>－2．求： (1)函数在－2－2 －1 0 1 2 x 解：函数y=x2－x－2的图象如图1所示． (1)若－2当x=a时，y最小值=a2－a－2 若a≥，当x=时，y最小值=－．

12129412· 19(,) 24图1

(2)若－2值=(

1232a+2)2－(a+2)－2=a2+3a，若a<1≤a+2，即－3≤a<1，当

2224x=1时，y最小值=－9．

2若a≥，当x=a时，y最小值=a2－a－2．

例6 当|x+1|≤6时，函数y=x|x|－2x+1的最大值是 ．

12

解：由|x+1|≤6，得－7≤x≤5，当0≤x≤5时，y=x2－2x+1=(x－1)2，此时y最大值=(5－1)2=16．

当－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此时y最大值=2． 因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是－16．

说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．

例7、已知二次函数y=x^2+(k+2)x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么，k的值应为（ ) A.k＞4或k＜-5 B.-5＜k＜-4 C.k≥-4或k≤-5 D.-5≤k≤-4

因为与X轴有2个交点

所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0 —— (1) 设与x轴交点分别为x1，x2 则x1+x2=-（k+2）>0 —— （2） x1*x2=k+5>0 —— （3） 解得-5例8.已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__[3/4，+∝）__.

解析：把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得 b=-3/2 函数的对称轴为 x=-（-3/2）/2=3/4 a=1＞0，函数开口向上，单调递增区间是[3/4，+∝） .例9.

二次函数y=ax^2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数， 若存在请写出一个，若不存在请说明理由。

解答：（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数，（a≠ 0) 则当x=0时，y=c，即c为整数，

同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n都应为整数，

两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|<0.5，即|2a|<1，矛盾。

所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数。 （方法2）

x＝0时，y＝c是整数 x＝1时，y＝a＋b＋c是整数 x＝－1时，y＝a－b＋c是整数 ∴(a＋b＋c)＋(a－b＋c)＝2a＋2c是整数 而2c是整数 例10.

已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).

y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2, 求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4. 例11.

已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).

y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2, 求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

例12 已知a<0，b≤0，c>0，且b24ac=b－2ac，求b2－4ac的最小值．

解：令y=ax2+bx+c，由于a<0，y C(0，c) A x1 O B x2 b≤0，c>0，则△=b2－4ac>0，

所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)．

x 图2

因为x1x2=<0，不妨设x1b≤0，于是 2aca|x1|=

bb24acbb24acc，

2a2abb24ac≥c=

2a4acb2故

4a≥－

b24ac2a

∴b2－4ac≥4，当a=－1，b=0，c=1时，等号成立． 因此，b2－4ac的最小值为4．

y －1 O 1 x

图3