介电常数与对称性

D0EPP0E，D0rEwangcl@sdu.edu.cn 2

极化强度P

在外电场的作用下，电介质要产生极化。极化强度就是反映电介质的极化强度的物理量，通常用符号P 表示。 极化强度与电偶极矩的关系：在电介质内选取某体积元∆V，没有外电场作用时，电介质不产生极化，这时体积元∆V内所有原子（或分子）的电偶极矩的Σp分量等于零；在电场作用下，由于电介质要产生极化，这时体积元∆V内的电偶极矩的矢量和Σp不等于零。 wangcl@sdu.edu.cn 3

极化强度P的定义为： PpV即极化强度为单位体积内的电偶极矩的矢量和。 wangcl@sdu.edu.cn 4

极化强度与极化电荷的关系

电介质极化后在它的表面上要出现极化电荷（即束缚电荷）。极化电荷的数量与极化程度有关，就是说与极化强度有关。设极化电荷面密度为σ’，则有： 'Pcos()PnPn 为极化强度在表面元的法线方向的分量。上)式说明电介质的极化电荷面电荷密度在数值上等于极化强度在该面上的法线方向的分量。

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各向同性介质中P、D和E之间的关系

对于各向同性的电介质，实验上发现当介质中电场不是很大时，极化强度P与电场E成正比，并且方向相同，即： PE式中比例系数χ称为介质的极化率。

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电位移D与电场E、极化强度P之间的关系为：

D0EP或 DE9-12式中，0=1/（3610）8.8510（法/

米），称为真空介电常数或真空极化率；

称为介电常数，它们之间的关系为：

0或 07

wangcl@sdu.edu.cn 各向异性介质中P、D和E之间的关系

一般晶体都是各向异性的电介质。对于各向异性的电介质实验上发现，P、D、E之间的方向彼此不同，如图所示，但关系D=0E+P式仍然成立；和与P、D、E的分量方向有关，不是标量而是张量了。 wangcl@sdu.edu.cn 8

图2-8 充满各向异性介质的平行板电容器

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P与E的关系

为了得到各向异性介质中极化强度分量（Px、Py、Pz）与电场强度分量（Ex、Ey、Ez）之间的关系式，进行如下实验。当介质在x方向受到电场Ex的作用时，不仅在x方向出现极化强(1)度Px，而且在y方向和z方向也出现极化强度分量Py(1)和Pz(1)，它们与Ex的关系为：

(1)Px11Ex，(1)Py21Ex，(1)Pz31Ex10

wangcl@sdu.edu.cn 同理，在介质的y、z方向，分别受到电场Ey或Ez的作用时，产生的极化强度分量为 ：

(2)Px12Ey，13Ez，(2)Py22Ey，23Ez，(2)Pz32Ey33Ez(3)Px(3)Py(3)Pzwangcl@sdu.edu.cn 11

当介质受到任意电场E（Ex、Ey、Ez）的作用时，介质中产生的极化强度P（Px、Py、Pz）与E之间的关系为： PxPy(1)(2)(3)PxPxPx(1)(2)(3)PyPyPyPx11Ex12Ey13EzPy21Ex22Ey23EzPz31Ex32Ey33Ez(1)(2)(3)PzPzPzPzwangcl@sdu.edu.cn 12 上式表示各向异性介质中的极化强度分量与电场强度分量之间的关系。实验上还发现，对于 所有的介质都存在12=21，13=31和23=32，即独立的极化率系数只有六个。于是上式可改写为： PEEEx11x12y13zPy12Ex22Ey23EzPz13Ex23Ey33Ezwangcl@sdu.edu.cn 13

极化率的物理意义

式中极化率11=（Px/Ex）Ey,Ez，为当y、z方向电场分量Ey、Ez保持不变时，由于沿x方向电场分量Ex的变化所引起的x方向极化强度Px的变化与Ex变化之比。 或者说，当Ey、Ez保持不变时，Ex改变一个单位时（即Ex =1时）所引起Px的变化就等于11。极化率12=（Px/Ey）Ez,Ex，为当z、x方向电场分量Ez、Ex保持不变时，Ey改变一个单位时（即Ex =1时）所引起Px的变化。其它极化率的意义与11、12类似，极化率的大小由材料的介电性质所决定。 wangcl@sdu.edu.cn 14

It is a tensor, not a vector

由此可见，对于各向异性介质沿x 方向的极化强度分量Px不仅与x方向的电场Ex有关，而且与y、z方向电场分量Ey、Ez有关，或者说Px与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。同理，Py、Pz也分别与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。描写电介质材料介电性质的极化率，有六个独立分量（11、12、13、23、22、33）。就是说电介质材料的极化率，即不是标量，也不是矢量，而是二级对称张量，它与E 、P的方向有关。

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为了方便，我们规定x、y、z方向为1、2、3方向，于是（Px、Py、Pz）就可写成（P1、P2、P上式可简化为3），（Ex、E : y、Ez）就可写成（E1、E2、E3）。3PmmnEn，m,n1,2,3n1或： PmmnEn，m,n1,2,3wangcl@sdu.edu.cn 16

矩阵形式

P1111213E1 P2122223 P3132333E2E3wangcl@sdu.edu.cn 17

D与E的关系

同理，电介质材料中的电位移分量（Dx、Dy、Dz）与电场强度分量（Ex、Ey、Ez）之间的关系可以写为： Dx11Ex12Ey13Ez，Dy12Ex22Ey23Ez，Dz13Ex23Ey33Ez，或简写成： Dmn13mnEn，m,n1,2,3wangcl@sdu.edu.cn 18

式中介电常数11=（Dx/Ex）Ey、Ez，为当Ey、Ez保持不变时，Ex改变一个单位时所引起Dx的变化。介电常数12=（Dx/Ey）Ez、Ex，为当Ez、Ex保持不变时，Ey改变一个单位时所引起Dx的变化。其它介电常数的意义与11、12的类似，介电常数的大小由材料的介电性决定 wangcl@sdu.edu.cn 19

D与P、E之间的关系

各向异性电介质材料沿x方向的电位移分量Dx不仅与x方向的电场Ex有关，而且与y、z方向电场分量Ey、Ez有关。或者说Dx与Ex、Ey、Ez

之间存在线性关系。同理，Dy、Dz也分别与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。描写各向异性电介质材料的介电性质需要六个独立的介电常数，因此各向异性电介质材料的介电常数也是二级对称张量。 wangcl@sdu.edu.cn 20

介电常数mn与极化率mn之间的关系在x 方向 上的分量： Dx0ExPxDx(011)Ex12Ey13Ez11011，1212，1313wangcl@sdu.edu.cn 21

同理可得： 22022，2323，33033写成矩阵形式为： Dx13ED1112yx122223EyDz132333Ezwangcl@sdu.edu.cn 22

对于各向同性的电介质，P、E之间的关系与D、E之间的关系也可以写成矩阵形式： Dx00ExDy00EyD00EzzPx00ExPy00EyP00Ezzwangcl@sdu.edu.cn 23

小结

（1）不论是各向同性的电介质，还是各向异性电介质，关系式D=0E+P都是成立的。

（2）对于各向同性的线性电介质材料，D、E、P的方向相同，并有D=E，P=E；与是标量，与，D、E、P的分量方向无关。与之间的关系为：=0+。 （3）对于各向异性电介质材料，D、E、P的方向彼此不同，并有 wangcl@sdu.edu.cn 24

各向异性电介质的介电常数与对称性

描写完全各向同性介质，只要一个介电常数， 描写完全各向异性介质，需要六个独立的介电常数。 独立的介电常数的个数与材料的对称性有关，而且一般情况下独立的介电常数的个数是界于一个和六个之间。 wangcl@sdu.edu.cn 25

下面主要介绍如何根据不同晶类的对称性，来确定它的独立介电常数。 在32种点群中，有21个没有对称中心，这21种点群中有20种点群具有压电效应。这20种具有压电效应的晶体，它们的介电常数、弹性常数和压电常数的数目在下表中。

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64具有压电效应的晶类的各种独立常数的数目

晶系 三斜 单斜 点群 1 m 2 mm2 222 4 4独立常数的数目 介电 弹性 压电 6 21 18 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 13 13 9 9 7 7 6 6 6 5 晶系 点群 3 3m 32 6 独立常数的数目 介电 弹性 压电 2 7 6 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 5 5 5 5 5 3 3 4 2 4 2 3 1 1 1 1 正交 四方 4mm 4m2 422 压电陶瓷 三角 10 8 5 3 4 六角 4 3 2 立方 1 3 wangcl@sdu.edu.cn 66mm 6m2 622 23 43m 27 从表中可以看出，属于三斜晶系的晶体结构对称性最低，是完全各向异性晶体，它的独立的介电常数、弹性常数、压电常数的数目最多；其次是属于单斜晶系的晶体，对称性也较低；属于立方晶系的晶体，对称性最高，接近于各向同性晶体，它的独立介电常数、弹性常数、压电常数的数目最少，其次是六角晶系，对称性也较高。 wangcl@sdu.edu.cn 28

晶体的独立介电常数的数目

现在介绍如何根据不同晶类的对称性，来确定它的独立的介电常数。 因为不同的晶类的对称性不一样，或者说各向异性的程度不一样，其独立的介电常数数目就会不一样。完全各向异性体的独立介电常数有六个，完全各向同性体的独立介电常数只有一个，而且有压电效应的晶体的对称性是介于完全各向异性体和完全各向同性体之间，可以预料它们的独立介电常数的数目是在一到六之间。

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例如，氯酸钠NaClO3和溴酸钠NaBrO3晶体，是立方晶系23点群的压电晶体；碲化镉CdTe和硒化锌ZnSe晶体是属于立方晶系3m点群的压电晶体。这些晶体的独立介电常数只有一个。又如，属于四方晶系4mm点群的钛酸钡BaTiO3晶体，属于三方晶系32点群的-石英晶体和3m点群的LiNbO3晶体等都是介于完全各向异性体和完全各向同性体之间的晶体，这些晶体的独立介电常数只有二个。

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现在以具有z轴是四次轴的晶体为例，说明晶体对称性与介电常数之间的关系。 所谓z轴是四次轴，即表示当晶体绕z轴转90、180、270后，晶体的性质保持不变，各个介电常数也mn保持不变。当晶体绕z轴转90后，晶体的x’轴与y轴重合，若晶体绕z轴转270后，则晶体的y’轴与x轴重合，这表明，当x轴与y轴互换后，晶体的介电常数应保持不变，即要求11 =22。但是x轴、y轴 与z轴不能互换，即11 33。至于其它介电常数，可通过下述方法确定。

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4-fold rotation

Dx13Ez,'x'13Dy23Ez'y'23DEz,DEzDyEz,DxEz'13'2323,'13'2313xx'(y),yy'(x)wangcl@sdu.edu.cn 13,'13'23231323032 设晶体受到沿z方向的电场Ez的作用时，在x、y 轴方向的电位移分量为： Dx13Ez,Dy23Ez当晶体绕z轴转90后，在新坐标系中电位移分量为： DEz,DEz'x'13'y'23wangcl@sdu.edu.cn 33

因为z轴转90后，x’y，y’ -x，zz’，固有Dx’=Dy，Dy’=-Dx： DyEz,DxEz'13'23比较可得： 23,13因为z轴为四次轴，晶体绕z轴转90后，晶体的介电常数应保持不变，这就要求：

''1313,2323wangcl@sdu.edu.cn 34

'13'23一方面要求： 13'1323另一方面又要求： '232313可见下式只有才能同时满足 13230用类似方法还可以证明 ： 120wangcl@sdu.edu.cn 35

最后得到具有z轴是四次旋转轴的晶体的介电常数的矩阵形式为： 011001100033独立的介电常数只有11和33两个。 钛酸钡、钛酸铅等压电晶体的z轴都是四次旋转轴，它们的介电常数与上式相同。 wangcl@sdu.edu.cn 36

坐标变换法

利用矢量和张量的坐标变换可以严格证明上面的过程。 注意点群的对称操作与坐标轴的关系。 原坐标系： DE新坐标系：D' 'E'具有对称性的意义： 'wangcl@sdu.edu.cn 37

坐标系的变换： 或： X'AXx'a13电场的变换：E' AEy'a11a12axa21a2223yz'a31a32a33z电位移的变换： D'ADD''E'AD'AEAE'AE'AA1wangcl@sdu.edu.cn 38

具有对称性的意义： 'AA1仍以4点群为例说明。变换矩阵为： 010A010100A1100001001wangcl@sdu.edu.cn 39

010111300'100121230011222013231033001010121113221223100222312111300112231333231333wangcl@sdu.edu.cn 40

对称性要求 1112131223221222231113132333122313331100001100334点群介电常数的形式 wangcl@sdu.edu.cn 41

足标代换法

还可以采用“足标代换法”来确定晶体的独立介电常数。设转动前，晶体的坐标为o-xyz，绕z轴转90后，晶体的坐标为o-x’y’z’，见图2-10。新旧坐标轴之间的关系为： x’y，y’-x，z’z 用（1、2、3）来代表（x、y、z）有： 12，2-1，33 于是有：1122，2211，3333，12-21，1323，23-13 wangcl@sdu.edu.cn 42

与介电常数联系即得：’11=22，’22=11，’33=33，’12=-21，’13=23，’23=-13 因为z轴是四次旋转轴，晶体绕z轴转90后，介电常数应保持不变，即：’11=11，’22=22，’33=33，’12=12，’13=13，’23=23 比较上述两式结果，可见只有11=22，12=12以及12=13=13=23=0时，两者才完全一致。

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得具有z轴是四次旋转轴的晶体的介电常数矩阵形式为 011001100033这个结果与坐标变换所得结果完全相同。wangcl@sdu.edu.cn

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足标代换法—一般过程

点群分析： 例如—点群4：只有一个4度旋转轴，而且沿c轴，即z轴方向。 足标变化：绕z轴旋转90后 ，xy,y  -x,z  z,用（1 2 3） 代表 （x y z） 1 2, 2  -1,3 3 wangcl@sdu.edu.cn 45

1 2, 2  -1,3 3

11121322232221232212900rotation1113113333旋转后性质保持不变（对称性的要求）1100再进行其它的旋转110操作不改变介电常33数矩阵的形式 wangcl@sdu.edu.cn 231333

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足标代换法—例2：mm2点群

铌酸钡钠（Ba2NaNb5O15）晶体，镓酸锂（LiGaO3）晶体都是属于正交晶系mm2点群的晶体。它们的z轴是二次轴，x面、y面是对称面。现在根据它们的对称性质用足标代换法来确定独立的介电常数。 wangcl@sdu.edu.cn 47

图 2—10 mm2中的第一个m

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因为晶体的x面是对称面，固有x’-x、y’ y、z’ z，即：1-1、22、33，

111213111213xaxismirror2223222333331100222333wangcl@sdu.edu.cn 49

图 2—11 mm2中的2

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因为晶体的z轴是二次轴，当晶体绕z轴转180后，有x” -x’、y” -y’、z” z’，即：1-1、2-2、33， 01100110zaxis2fold222322233333110022033wangcl@sdu.edu.cn 另一个镜面操作不再改变矩阵的形式

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于是得到mm2点群晶体的介电常数的矩阵形式为： 011000220033独立介电常数为11、22、33三个。 wangcl@sdu.edu.cn 52

足标代换法—局限性

只适用于三个晶轴互相垂直的晶系：正交晶系，四方晶系和立方晶系。 不能应用于其它晶系：三斜晶系，单斜晶系，三角晶系，六角晶系。 坐标变换法可以应用于确定任何晶系的独立的介电常数的数目。 wangcl@sdu.edu.cn 53

七大晶系的介电常数

三斜晶系 单斜晶系 11121311131222230022013233313033wangcl@sdu.edu.cn 54

正交晶系 110022000033四方、三方和六方晶系

011001100033wangcl@sdu.edu.cn 55

立方晶系 110001100011压电陶瓷的介电常数

011001100033wangcl@sdu.edu.cn 56

压电陶瓷的介电常数

未经过极化工序处理的压电陶瓷是各向同性的多晶体；经过极化工序处理的压电陶瓷，沿极化轴方向的物理性质就与非极化轴方向的物理性质不一样了，所以是一个各向异性的多晶体。 通常选z轴为极化轴，因为极化处理后，对x轴和y轴之间并没有造成什么差别，所以通过z轴并与x轴、y轴垂直的平面，都是对称面；或者说与xy平面垂直的面都是对称面。

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压电陶瓷的介电常数

压电陶瓷的对称性与六角晶系中6mm点群对称性相近，两者独立介电常数的数目相同。因为压电陶瓷的xy平面是各向同性的，x轴与y轴互换时，介电常数应保持不变，这就要求：11=22，12=0；又x、y与z轴之间不能互换，固有：11=2233，可通过绕z轴转180后介电常数应保持不变，证明13=23=0。 wangcl@sdu.edu.cn 58

小结 summary

Isotropic and anisotropic of dielectric tensor. Index exchange method for determination of the dielectric tensor. Independent number of dielectric constants of seven systems; wangcl@sdu.edu.cn 59