立体几何

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平面内或__________________.

(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面. 公理2的推论如下：

①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题.

2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类

相交直线：同一个平面内，有且只有 共面直线

平行直线：同一个平面内， 

异面直线：不同在任何一个平面内，

. . .

(2)异面直线

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”.

②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性.

③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围是____________.若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________.

3.平行公理

公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性).它给出了判断空间两条直线平行的依据.

4.等角定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________.

(2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是( ) ．．

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1

C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行

若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且R∉m，PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ，

则β∩γ是( )

A.直线QR B.直线PR C.直线RM D.以上均不正确 给出下列命题：

①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面. 其中正确命题的序号是____________.

已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为________.

类型一 基本概念与性质问题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线

A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.

点拨：

本题难度不大，但比较灵活.解题关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线.解决点、线、面位置关系问题可借助平面，立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题.

如图示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中位置

关系是( ) A.平行 C.异面直线

B.相交且垂直 D.相交成60°

类型二 点共线、线共点问题

如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点

O.

求证：B，D，O三点共线.

点拨：

(1)本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：首先由其中的两个点B和D确定一条直线，然后证明点O也是直线BD上的点，也就是证明点O是两个平面的交线上的点.在证明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1以及公理3，这种方法是证明点共线的通用方法.(2)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，

如变式2.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.

求证：(1)EF∥D1C；

(2)CE，D1F，DA三线共点.

类型三 共面问题

11

如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，

22

G、H分别为FA、FD的中点.

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

点拨：

点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面.无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内.

下列如图所示的正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的

图形是____________.(填所有满足条件图形的序号)

类型四 异面直线问题

(2014·全国)已知二面角α­l-β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD

＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )

1231A. B. C. D. 4442点拨：

探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，

则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为( )

3573A. B. C. D. 4444

1.空间线面关系的组合判断题，是一类常见的客观题.解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观.如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型.

2.要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力.在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”、“⊂”混用的错误.

3.求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算.作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果

π0，. 计算出来的角度是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是24.证明“线共面”或者“点共面”问题时，运用同一法，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内.

5.证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线.

1.若空间中三条直线a、b、c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.一定垂直

2.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )

3.已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是( ) A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3； B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；

C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面； D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面. 4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等

于( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论错误的是( ) ．．

A.A1C1∥平面ABCD

B.AC1⊥BD

C.AC1与CD成45°角 D.A1C1与B1C成60°角 6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直

线l可以作( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

7.已知a，b，c是直线，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.

其中真命题是______________(写出所有正确命题的序号). 8.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成

角的余弦值为____________.

9.如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

10.如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD­A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.

11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a(a>0).

(1)求异面直线B1C与BD1所成角的余弦值； (2)当a为何值时，使B1C⊥BD1?

(2014·陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体

的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.

空间中的平行关系

1.空间中直线与平面之间的位置关系

(1)直线在平面内，则它们有__________公共点；

(2)直线与平面相交，则它们______________公共点； (3)直线与平面平行，则它们________公共点.

直线与平面相交或平行的情况统称为______________. 2.直线与平面平行的判定和性质 (1)直线与平面平行的判定定理

平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行.即线线平行⇒线面平行.用符号表示：____________________________.

(2)直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________.即线面平行⇒线线平行.用符号表示：__________________________.

3.平面与平面之间的位置关系

(1)两个平面平行，则它们______________；

(2)两个平面相交，则它们______________.两个平面垂直是相交的一种特殊情况. 4.平面与平面平行的判定和性质 (1)平面与平面平行的判定定理

①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行.用符号表示：____________________________.

②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.

③垂直于同一条直线的两个平面平行.即l⊥α，l⊥β⇒α∥β. ④平行于同一个平面的两个平面平行.即α∥γ，β∥γ⇒α∥β. (2)平面与平面平行的性质定理

①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________.即面面平行⇒线线平行.用符号表示：__________________________________.

②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.用符号表示：__________________.

③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.用符号表示：__________________.

下列说法正确的是( )

A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B.若直线a在平面α外，则a∥α C.若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α

D.若直线a∥b，b⊂平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线. 已知直线a∥b，且a与平面α相交，那么b与α的位置关系是( ) A.必相交 B.平行或在平面内

C.相交或平行 D.相交或在平面内.

湖北七市联考)已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则 (2013·

“α∥β”是“l∥β”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所

在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________.(写出所有符合要求的图形

序号)

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，

ABB1A1的中心，给出下列结论：

①PR与BQ是异面直线； ②RQ⊥平面BCC1B1； ③平面PQR∥平面D1AC；

④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形. 以上结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)

类型一 线线平行

如图所示，在三棱锥P­ABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中

点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.求证：AB∥GH.

点拨：

证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明.

(2013·湖南模拟)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，B∈β，则在β内过B点的

所有直线中( )

A.不存在与a平行的直线 B.存在无数条与a平行的直线 C.存在唯一一条与a平行的直线

D.存在两条与a平行的直线

类型二 线面平行

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，

若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.

点拨：

本题是已知直线和平面平行，由线面平行的性质定理得到线线平行，再根据中位线定理得到要求的线段长度.反过来，给定已知条件，要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(1)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；(2)由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行.第(1)种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行.

如图示，有一块木料.已知其棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′

内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？判断所画的线和平面AC的位置关系并加以证明.

类型三 面面平行

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F，

求证：

(1)EF∥平面ABCD；

(2)平面AD1C∥平面A1BC1.

点拨：

证明面面平行的方法详见“名师点津”栏；第(2)问选用的两种证法也是证明面面平行的常用证法.

如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，

D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM＝9，MN＝11，NB＝15，S△FMC＝78.求△END的面积.

1.证明线线平行的方法 (1)利用平面几何知识；

(2)平行公理：a∥b，b∥c⇒a∥c；

(3)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的性质定理：m⊥α，n⊥α⇒m∥n. 2.证明直线和平面平行的方法 (1)利用定义(常用反证法)；

(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α； (3)面面平行性质：α∥β，l⊂α⇒l∥β； (4)向量法.m⊄α，n⊥α，m⊥n⇒m∥α；

(5)空间平行关系传递性：m∥n，m，n⊄α，m∥α⇒n∥α； (6)α⊥β，l⊥β，l⊄α⇒l∥α. 3.证明面面平行的方法 (1)利用定义(常用反证法)；

(2)利用判定定理：a，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β；

推论：a，b⊂β，m，n⊂α，a∩b＝P，m∩n＝Q，a∥m，b∥n(或a∥n，b∥m)⇒α∥β；

α∥β

(3)利用面面平行的传递性：⇒α∥γ；

γ∥βα⊥l

(4)利用线面垂直的性质：⇒α∥β.

β⊥l

4.应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是： (1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；

(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断. 5.注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化 线线平行线面平行面面平行. 性质定理性质定理应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”： “线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”；

判定定理

判定定理

应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”： “面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”.

1.已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.垂直

2.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( ) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交

3.α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，且α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∥b，则c和a，b的位置关系是( )

A.c和a，b都异面 B.c与a，b都相交 C.c与a，b都平行

D.c至少与a，b中的一条相交 4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC，A1D1的两

个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1-DFD1，V2＝VEBE1A1­FCF1D1，V3＝VB1E1B­C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为( )

A.410 B.83 C.413 D.16

5.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )

A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2

6.如图，若Ω是长方体ABCD­A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( ) ．．．

A.EH∥FG B.四边形EFGH是矩形

C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台. 7.给出下列四个命题：

①平行于同一平面的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；

③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行； ④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直. 其中正确命题的序号是_______(写出所有正确命题的序号).

8.如图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′

的面积为________.

9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1

的中点.

求证：(1)PO∥面D1BQ； (2)平面D1BQ∥平面PAO.

10.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D为C1B的中点，P为AB边上

的动点.

(1)当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1； (2)若AP＝3PB，求三棱锥B-CDP的体积.

11.(2014·安徽)如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝

90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.

(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论； (2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.