人教版1、3 反函数-高中数学必修一教案

教材分析：

反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学目的：

.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数 .使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系

.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：

.反函数的定义及理解 .反函数的求法 教学难点：

.反函数的定义及理解

.求解反函数注意原函数与反函数的关系。（特别是反函数的定义域） 授课类型：新授课 课时安排：课时

教学过程： 一、问题引入： 2yx(x0)的图像。 .画出学生活动及设计说明 学生动手画图，并提出问题？yx的图象不会画，思考怎么，反解该式得画？想办法解决。（从.思考yx的图像。猜想分析二者关系： 在yx(x0)2x2y,x0xy，该函数图像和yx2(x0)一学生自己的经验建构样，当我们将x,y互换后得到yx，即图像关于yx对称，我们得到yx的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？ 二、讲解新课： 反函数的定义 一般地，设函数yf(x)(xA)的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到(). 若对于在中的任何一个值，通过()，在中都有唯一的值和它对应，那么，()就表示是自变量，是自变量的函数，这样的反函数的定义可以直接从学生的疑惑中提出，这是我们解决问题的又一方法。 给学生解释概念后，用探讨的方式让学生自己清楚注意点，学知识，更易激发学生的求知欲） （分钟） 函数() ()叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作生学会在问题中反思。 xf1(y),习惯上改写成yf1(x) （分钟） 书上的两个例子：记为f(t)vt，则它的反函数就f1(t)tv，同样y2x6记为f(x)2x6，可以写为则它的反函数为：f1(x)x32. 探讨：所有函数都有反函数吗？为什么？ 反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函对概念分析到位，数的定义可知，对于任意一个函数yf(x)来说，不一有助学生解题时的严谨性 2定有反函数，如yx,只有“一一映射”确定的函数才 2有反函数，yx,x[0,)有反函数是yx 1探讨：互为反函数定义域、值域的关系 从映射的定义可知，函数yf(x)是定义域到值域的映射，而它的反函数yf(x)是集合到集合的映射，因此，函数yf(x)的定义域正好是它的反函数yf1(x)的值域；函数yf(x)的值域正好是它的反函1数yf(x)的定义域f[f11(x)]x,f[f(x)]x（如下1表）：[来源:学科网ZXXK][来源:学科网] 函yf(x) 数反函数yf (x) 求反函数是本课的重点，例、①②③④问可以让学生自己在定义域 值 域 解题后归纳一般步骤。 （分钟） 1yf(x)的反函数是？[来源:Zxxk.Com] 探讨：1若函数yf(x)有反函数yf(x)，那么函数yf(x)的反函数就是yf(x)，这就是说，函数1yf(x)与yf1(x)互为反函数 三、讲解例题： 例．求下列函数的反函数： ①y3x1(xR)； ②yx1(xR)； 3③yx1(x0)； ④ y2x3(xR,且x1)x1. 解：①由y3x1解得∴函数xy13 的反函数是 先让学生出错再y3x1(xR)yx1(xR)3， 3yx1(xR)解得②由3y1,∴函数更正，加深学生印象 注意：在求解反函数时原函数的定义域很重要，反函数的定义域只能通过原函数的yx31(xR)的反函数是y3x1(xR) ③由x解得(y1),∵，∴. ∴函数yyx1(x0)的反函数是(y1)2 (); 2④由} 值域来确定。 y32x3xy2∵{}，∴{x1解得（分钟） ∴函数yy2x3(xR,且x1)x1的反函数是 对二次函数求反函数注意：.配方法或求根公式（也是一种方法）.开方取正负中的一个，根据原函数的定x3(xR,x2)x2 小结： ⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 义域取舍。 （分钟） ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射 例．求函数 y11x（<<）的反函数 22221xxx解：∵<< ∴<<∴< < ∴<< ∴ < < 由：y11x解得：x2yy (∵< < ) 2y11x∴(< < )的反函数是：22 课堂练习 （分钟） y2xx2(<< ) 例．已知f(x)x(≥),求f21(x). 学生小结，学生自己回顾 （分钟） 12解法：（步骤）令x，解此关于的方程得244yx2，∵≥，∴，即1y①, （步骤）∵≥，由①式知1y≥，∴≥②, （步骤）由①②得f1(x)1x（≥，∈）； 222解法：（步骤）令x(x1)，∴(x1)， ∵≥，∴≥，∴1y①,即1y, （步骤）∵≥，由①式知1y≥，∴≥, 2（步骤）∴函数f(x)x(≥)的反函数是f(x)1x（≥）； 说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求，也可以用配方法求，但开方时必须注意原来函数的定义域. 四、课堂练习：课本练习及苏大基训： 五、小结 本节课学习了以下内容： ．反函数的定义及其注意点、求法步骤 ．求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明 互为反函数的两个函数有什么关系：[来源:学+科+网Z+X+X+K] 反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 六、思考： 互为反函数的两个函数图像间有什么关系？（可从函数的性质入手思考） 七、课后作业：课本习题 八、板书设计 反函数 一、问题引入 二、反函数定义： 探讨： 探讨： 探讨： 三、求解反函数的步骤 一解、二换、三注明 例． 例． 例． 四、课时小结 九、课后反思： 注意：.学生思考问题时在问题设计上再注意引导 .在解题过程中，多给学生思考时间。

附：教学设计说明 教材分析：

反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 学生分析 ：

对于高一的学生在初中学习基础上已建构起的一次函数、二次函数及反比例函数，这些都是具体的函数，在高中学生接触了函数的更进一步的概念，也开始研究函数的一般性质——单调性、奇偶性。所以对于函数来说他们主观上需要有更多的函数来补充，需要更多的概念来联系所学的知识。于是反函数对于学生来说来的是很及时的，再加上难度上不及函数单调性和奇偶性，所以学生学习起来也会觉得必要和轻松。而且由学生熟悉的二次函数入手，由问题yx的图像引入，学生能有兴趣和求知欲，并且便于建立知识联系。

设计思想：

在对学生和教材进行分析后，主要设计目的是让学生在反函数的第一节概念课中能了解反函数学习的必要性和重要性。

抓住概念课的特点，通过个探讨解释说明并强化学生对概念的理解，学生也在这样的探讨过程中不仅了解了反函数是什么？也更了解了反函数的警戒点。当然仅仅理解概念是远远不够的，所以紧接着通过例，让学生思考在求解反函数的过程中注意每一步在考察反函数的什么？通过例题学生总结求解反函数的过程。例故意让学生犯错，然后纠正，例进一步强化概念及求反函数的方法。最后让学生练习总结。

第一课学生应该还会遗留一些关于原函数与反函数图象之间的疑问？所以在最后可以让学思考原函数与反函数图象之间的关系。为下一课做准备。

反馈调控预设：

在该课的设计中，由于学生参与活动较多，所以在几个环节上有预设： 探讨时，学生回答不准确。考虑多请两位学生，这样就可相互补充，又让更多的同学参与。

例题讲解时，有的请学生来故意犯错，但是学生如果不犯错怎么办？我认为板演的学生请一位老是做题不严谨的，如果没有错，就请另一位同学来判断正误，并讲解该同学的做题思路，这样学生自己解决自己的问题

在时间安排上，加入的练习量可以控制。 学生表现反映：

在问题思考过程中较为积极，回答也较准确。在问题引入后求知欲也很强烈，但在动手解题时，有部分同学不动手，认为题目简单，于是请这些同学板演，也暴露出学生的问题，刚好给学生强调易错点。

反思改进：

.学生思考问题时在问题设计上再注意引导，特别在问题的描述上注意准确，在回答方向上对给以提示。

.在思考、讨论和解题过程中，多给学生思考时间，学生在讨论时注意多听取几个学生的意见。

.在学生给出自己的回答时，应注意言语上的鼓励。

.在最后给学生布置思考问题时更应该明确些，否则学生也没有思考方向。

4.4.3 不同函数增长的差异

刷新题夯基础

题组一 不同函数增长的差异

1.下列函数中,增长速度越来越慢的是 ( ) A.y=6x B.y=log6x C.y=x6

D.y=6x

2.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知同年9月份两食堂的营业额又相等,则同年5月份 ( ) A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高

C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

3.(2020湖南醴陵一中高一上期中)已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,在区间(0,+∞)上一定存在x0,当x>x0时( )

A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x C.log2x>2x>x2

D.log2x>x2>2x

4.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4≤x≤10)时,奖金y(万元)随销售利润

x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的2,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7) ( )

A.y=0.4x B.y=lg x+1 C.y=𝑥 D.y=1.125x 题组二 图象信息迁移问题

5.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是 ( )

121

6.(2021山东德州、烟台高一上期中联考)某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东省赛区)的比赛活动.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里了,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示他离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,出租车匀速行驶,则下列图象中与上述事件吻合最好的是

( )

7.(多选)如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t(月)之间满足的函数关系:y=at(t≥0,a>0,a≠1)的图象.若有害物质的初始量为1,则以下说法中正确的是 ( )

A.第4个月时,剩余量就会低于5 B.每月减少的有害物质的量都相等 C.有害物质每月的衰减率为3

D.当剩余量为2,4,8 时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3

8.函数f(x)=2x和g(x)=x3的大致图象如图所示.设两函数的图象交于点

111

1

1

A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;

(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 021),g(2 021)的大小.

题组三 函数模型的选择 9.有一组试验数据如下表所示:

x y

1 4

2 13

3 28

4 49

5 76

下列所给函数模型适合的是 ( ) A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)

10.(2020福建宁德高一上期末)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,所得数据如下表所示:

x y

1.00 1.65

2.00 2.20

3.00 2.60

4.00 2.76

5.00 2.90

6.00 3.10

根据上表数据,下列函数中适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是

( )

D.y=2√𝑥

A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5 C.y=2x-1

11.某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:

地震强度(J) 震级(里氏)

1.6×1019 5.0

3.2×1019 5.2

4.5×1019 5.3

6.4×1019 5.4

地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数),则a= ,b= .(取lg 2=0.3)

12.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考)汽车“定速巡航”技术用于控制汽车的定速行驶,当汽车被设定为定速巡航状态时,电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量,使汽车始终保持在所设定的车速行驶,而无需司机操纵油门,从而减轻疲劳,促进安全,节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况,选择一段长度为240 km的平坦路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的相关数据如下:

v(km/h) F(L)

0 0

40 20 360 65 880 10

120 20

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下三种函数模型可供选择:

F(v)=av+bv+cv,F(v)=(2)+a,F(v)=klogav+b.

3

2

1𝑣

(1)请选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式; (2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少?

13.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~1 600万元的投资收益,现准备制订一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)判断函数f(x)=30+10能否作为公司奖励方案的函数模型,并说明理由; (2)已知函数g(x)=a√𝑥-5(a≥1)能作为公司奖励方案的函数模型,求实数a的取值范围. 𝑥

答案全解全析

刷新题夯基础

1.B D中增长速度不变,A,C中增长速度越来越快,只有B符合题意.

2.A 设甲、乙两食堂该年1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加

a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可知,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=√𝑚(𝑚+8𝑎).

22

因为𝑦1-𝑦2=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2.

故同年5月份甲食堂的营业额较高.

3.A 由于指数函数增长最快,对数函数增长最慢,因此当x很大时,指数函数值最大,对数函数值最小,

即在区间(0,+∞)上一定存在x0,当x>x0时,2x>x2>log2x,故选A. 4.B A选项中,当x=10时,y=4,超过2万元,不符;

B选项中,y=lg x+1在[4,10]上是增函数,x=10时,ymax=2,结合图象知,lg x+1<2在

𝑥

x∈[4,10]上恒成立,故B符合;

C选项中,当x=10时,y=√10>2,超过2万元,不符; D选项中,当x=10时,y=(8),

设(8)=a,则lg a=10(lg 9-lg 8)=10(2lg 3-3lg 2)≈0.6.

910

910

因此a≈10>√10>2,超过2万元,不符.故选B.

5.B 水深h为自变量,随着h的增大,A项中V的增长速度越来越快,C项中先慢后快,D项中增长速度不变,只有B项中V的增长速度越来越慢.

6.C 由题意知,该高三学生从家出发去高铁站,y是x的一次函数,且斜率为正;他返回家取身份证的过程中,y仍然是x的一次函数,斜率为负;他最后从家到高铁站,y仍然是x的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图象可知,与题干中事件吻合最好的图象为C.故选C.

7.ACD 根据图象过点(2,)可知,=a2,解得a=或a=-(舍去),

9

9

3

3

4

4

2

2

0.6

∴函数关系是y=(3). 令t=4,得y=<,故A正确;

815161

2𝑡

当t=1时,y=3,减少了3,当t=2时,y=9,减少了9,每月减少的有害物质的量不相等,故B不正确;

因为y=(3)=(1-3),所以有害物质每月的衰减率为3,故C正确; 分别令y=,,,解得t1=log2,t2=log2,t3=log2,则t1+t2=t3,故D正确.

248

32142

2𝑡1𝑡

1

11112

14

18

33故选ACD.

8.解析 (1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x. (2)∵f(1)=2>g(1)=1,f(2)=4g(10)=1 000, ∴1x2.

由题图可以看出,当x1f(x)x2时,f(x)>g(x), ∴f(2 021)>g(2 021). 又g(2 021)>g(6),

∴f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6).

9.C 通过题中所给数据可知,随着x的增大,y的增长速度越来越快,而A,D中的

函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变,故选C.

10.B 由题表知,当自变量每增加1个单位时,函数值依次增加0.55,0.40,0.16,0.14,0.20,因此A,C不符合题意;当x取1,4时,y=2√𝑥的值分别为2,4,与题表中的数据相差较大,故选B. 11.答案 3;15 解析 由题表中数据得{

𝑎lg1.6+𝑏=5,

𝑎lg3.2+𝑏=5.2,

2

273

两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2, 所以alg 2=0.2,解得a=3,

所以b=5-3lg 1.6=5-3(4lg 2-1)=5-3×5=15. 则y=3lg x+15, 经检验,后两次数据也适合该式.

12.解析 (1)由题意可知,符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120],且在[0,120]上为增函数.

函数F(v)=()+a在[0,120]上是减函数,所以不符合题意,

21𝑣

2

732

2

2

173

而函数F(v)=klogav+b中的v≠0,即定义域不可能为[0,120],也不符合题意, 所以选择函数F(v)=av3+bv2+cv.

𝑎=38 400,

3 165由已知数据得{60(602𝑎+60𝑏+𝑐)=,解得𝑏=-240, 8

𝑐=7,80(802𝑎+80𝑏+𝑐)=10,{24

40(402𝑎+40𝑏+𝑐)=

,

所以F(v)=38 400v3-240v2+24v(0≤v≤120).

(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y L,行驶时间为t h,由题意得

1

1

7

20

1

y=F·t=(38 400𝑣3-240𝑣2+24𝑣)·=160v2-v+70=160(v-80)2+30,

1

1

117240𝑣

因为0≤v≤120,所以当v=80时,y有最小值,最小值为30.

所以这辆车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少,最少为30 L. 13.解析 (1)不能,理由:对于函数模型f(x)=30+10,

𝑥

当x∈[25,1 600]时, f(x)是单调递增函数,则f(x)≤f(1 600)<75,显然恒成立,若函数f(x)≤5恒成立,则30+10≤5,解得x≥60. ∴f(x)≤5不一定成立.

故函数模型f(x)=30+10不符合要求.

(2)当x∈[25,1 600]时,g(x)=a√𝑥-5(a≥1)单调递增, ∴最大值g(1 600)=a√1 600-5=40a-5≤75,∴a≤2. 设g(x)=a√𝑥-5≤5恒成立,

则ax≤(5+5)恒成立,即a2≤𝑥+2+25.

2

𝑥𝑥𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥2

25𝑥

∵𝑥+25≥2,当且仅当x=25时取等号,∴a≤2+2=4. ∵a≥1,∴1≤a≤2.

综上,a的取值范围为[1,2].

25𝑥

2