应用数学知识处理物理问题的能力

应用数学知识处理物理问题的能力，是高考要求学生必须具备并重点考查的五种基本能力之一。对此《考试大纲》中有明确的阐述，要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形及函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算。近几年高考中，涉及应用数学方法的问题，既有较为简单的选择题。也不乏较为烦琐、具有一定难度的综合性计算题。熟练地掌握和应用一些典型的数学方法，对提高物理成绩是大有帮助的。在中学物理中常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳法、微元法等。下面结合实例谈谈这五种典型数学方法在高中物理中的应用，以期对高中物理的平时学习与高三复习效率的提高起到一定的作用。

1 几何法

常用的有三角形的相似、解直角三角形及一些几何公理的应用等。

例1 一带电质点，质量为m电量为q、以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图1中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直xOy平面，以磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形区域的最小半径。(重力不计)。

解析 质点在磁场中做半径为R=mv/Bq的圆周运动。根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径为R的圆上的一段1/4圆弧。这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，过b点作y轴的平行线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周运动的圆心。质点在磁场区域中的轨道是以O′为圆心、R为半径的圆(如图中的虚线圆)上的圆弧 MN，而M、N两点应在所求的最小圆形磁场区域的边界上。

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN的连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为

所求的磁场区域如图中实线圆所示。

方法指导 本题的解题方法是几何法。求解过程由两个部分组成：其一为得出必要的几何形状，其二为计算粒子在磁场中的周期公式和半径公式。解决此类题目的关键是利用数学中的几何知识，即先作几何图形然后再利用物理知识求解。通常的解题思路为：(1)画带电粒子的运动轨迹；(2)找圆心，由几何关系求半径；(3)根据两圆相交知识，由公共弦求圆的最小半径。

2 图象法

图象法具有简明、直观的特点，它既能形象地展示两个相关物理量间的相互制约关系，又可描述清晰的物理过程。对一些较抽象的物理问题，恰当地引入物理图象，常可化抽象为形象，便于突破难点、疑点，使解题过程大大简化，计算快速便捷。在利用图象解题时，第一要明确图象中的横轴与纵轴所代表的物理量，另外还要注意图线的斜率(常表示一个物理量)、截距(常反映-个物理量的临界值)和图线与坐标轴围成的面积(常与某一物理量相对应)等各量表示的物理意义。

例2 蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心l1＝1m的A点处时，速度是v1＝2cm／s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心l2＝2m的B点所需要的时间为多少？

解析 此题中，蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能运用匀速运动公式求解。于

是，可把蚂蚁从A点爬到B点的路程分成许多小段，则通过某一段△li所用的时间为△ti＝△li/vi，式中vi表示蚂蚁在该小段△li内的平均速度。因为△li很小，在△li内的平均速度与△li内任一位置的瞬时速度没有差别。

从△ti＝△li/vi可联想到作出从A点到B点整个路程上1/v与l之间的关系图，这个图象是一条过原点的直线，由图2可知，直线下面有斜线部分的面积在数值上就等于所求的时间，即：

方法指导 本题巧妙采用1/v-l图像解答，不仅使它的“面积”能够表示运动的时间，而且同时把速度与距离成反比(图线为曲线)转化为速度的倒数与距离成正比(图线为直线) 使原来较复杂的运动求解变得很容易。

3 微元法

利用微分思想的分析方法称为微元法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法。

微元法解题的思维程序：

(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象。微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间……

(2)将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动……)，并运用相关的物理规律，求解这个微元与所求物体的关联。

(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方

向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体的合理解答。

例3 如图，长为L，电阻r=0.3Ω，质量m=0.1kg的金属棒CD垂直放在位于水平面上的两条平行光滑的金属导轨上，两条导轨间距也为L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计。导轨左端接有R=0.5Ω的电阻，量程为0～3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0～3.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面。现以向右恒定外力F使金属棒右移，当金属棒以v=2m／s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏，问：

(1)此满偏的电表是什么表?说明理由。

(2)拉动金属棒的外力F多大?

(3)此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上，求从撒去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。

解析 撤去外力F后，棒水平方向只受安培力。安培力的冲量等于棒的动量的变化，即棒的动量的变化是安培力在时间上的积累效应，与此过程相对应的，通过电阻R的电量则是电流在时间上的积累效应。

(1)设电流表满偏，则I＝3.0A

由欧姆定律得：U＝IR＝1.5V

因U＝1.5V已超出电压表量程，所以假设不成立，应是电压表满偏，即U＝1.0V，此时电流表的读数I=U/R=2.0V

(2)回路中的感应电动势

棒匀速运动，外力F＝F安＝BLI

解得：F＝1.6N

(3)将棒的滑动过程分为若干很短的时间，△t时段内可认为棒中电流不变，则通过电阻R的电量为：

解得：Q=mvI/F=0.25C

方法指导 此题采用了微元法。微元法是将那些随时间或位移变化的物理量的变化过程分成若干个微小过程，而在这些微小过程中，变化的物理量可视为恒定，由此求出其随时间或位移的积累效应。如变力做功中化“变力”为“恒力”后用W＝FScosα来求解。判定谁是合速度、谁是分速度(取一个很小的Δt考察)、在安培力的作用下通电导线(环)在磁场中的运动情况的判定等都可用微元法来处理。微元法是中学物理中一个处理问题的重要方法，在近年高考考查中频频出现。

4 数学归纳法

在解决某些具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的。

例4 光滑水平面上停放一个木箱和小车，木箱质量为m，小车和人总质量为M，M∶m＝4∶1。人以速度v沿水平方向将木箱推出，木箱被挡板以原速反弹回来以后，人接住木箱再以同样大小的速度v第二次推出木箱，木箱又被原速反弹……问人最多能推几次木

箱?

解析 选木箱、人和小车组成的系统为研究对象，取向右为正方向。设第n次推出木箱后人与小车的速度为vn，第n次接住后速度为vn′，则由动量守恒定律可知：

第一次推出后有：0＝Mv1-mv

则v1＝mv/M

第一次接住后有：Mv1+mv＝(M+m)v1′

第二次推出后有：(M+m) v1′＝M v2-mv

则v2＝3mv/M

第二次接住后有：Mv2+mv＝(M+m) v2′

……

第n-1次接住：

Mvn-1+mv＝(M+m) vn-1′

第n次推出：(M+m) vn-1′＝Mvn-mv

即vn＝(2n-1) mv/M

设最多能推n次，推出后有

vn≥v，vn-1＜v

即(2n-1) mv/M≥v， 且

［2 (n-1) -1］mv/M＜v

所以2.5≤n＜3.5

因n取整数，故n=3

方法指导 本题的解法首先利用了数学中的数学归纳法写出了速度的通式，然后结合条件进行讨论得出结论。显然在这时数学归纳法起着举足轻重的作用。

5 极值法

数学中求极值的方法很多，物理极值问题的讨论中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。

例5 如图所示，一个阻值为5Ω的电灯与一最大阻值为10Ω的滑动变阻器串联后接到电压为2V的电源上(电源内阻不计)。求：当滑动变阻器接入电路的阻值是多大时，滑动变阻器消耗的功率为最大，其值是多少?

解析 设滑动变阻器消耗的功率为P，连入电路的电阻值为R，则消耗的功率为：

P＝I2R＝［E/(R0+R)］2/R

＝［2/(5+R)］2/R

整理得到一个关于R的一元二次方程：

PR2+(10P一4)R+25P＝0

由于R为实数，所以上述方程中Δ≥0，即

Δ＝(10P一4)2-4P×25P

＝16-80P≥0

解得P≤0.2W，故消耗的最大功率为0.2 W，此时滑动变阻器连入电路的电阻为5Ω。

方法指导 该题的数学方程方法较好，利用了一元二次方程的判别式。

浅谈数学归纳法在高中物理中的应用

应用数学方法处理物理问题是高中物理教学大纲明确指出的一项重要教学内容 ，也是高考能力考察的重要组成部分，同时也体现了数学这门学科的工具性和实用性，加强学科间的渗透，强化对学生能力的考查，本文试通过下面例子作初步的探讨。

例：我们在火车站常看到载重列车启动时，机车要往后倒退一下，目的是使各节车厢之间的挂钩都离开一段距离，以便于启动，这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦

力大于它们之间的动摩擦力，若机车不倒退直接启动，启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由静摩擦力变为动摩擦力，当列车加速到一定的速度后，列车的机车就必须减少牵引力使列车匀速直线运动，资源不能得到充分的利用，所以载重列车常常采用我们所见到的启动方式启动。今有一列载重列车，若它不倒退以恒定的牵引力直接启动，机车的牵引力能带动49节车厢（不含机车），那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动，该机车启动59节同样质量的车厢以后，恰好做匀速直线运动，已知机车与各节车厢的质量均为m，机车和各节车厢与铁轨之间的动摩擦力为μmg，假设机车倒退后，各节车厢之间的挂钩离开相同的距离s，机车加速后，每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件。求：

（1）每一节车厢与铁轨之间的最大静摩擦力？

（2）列车采用机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度？（最终结果可以用根式表示）

解：（1）设每节车厢所受最大静摩擦力为fm，机车的牵引为为F

直接启动时，有 F=（49+1）fm （1）

当采用倒退方式启动时，有 F=（59+1）μmg （2）

由①、②两式可得：fm=1.2μmg （3）

（2）设第一节车厢被拉动前，机车的速度为V1，被拉动后，机车的速度为V1′

由动能定理有 （4）

由动量守恒定律有 （5）

由 ④、⑤得 （6）

设第二节车厢被拉动前，机车的速度为V2，被拉动后，机车的速度为V2′，

由动能定理有 （7）

由动量守恒定律有 （8）

由 ⑦、⑧得 （9）

同理可得 （10）

由数学归纳法有 （11）

∴ （12）

即，列车采用倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度为 ：

本题由于题干设计新颖，又是紧密联系现实生活，特别是对机车倒退式启动过程的具体分析是本题的一大难点，既反映了物理知识在生活中的应用，同时，也充分体现了利用数学知识解答物理问题的重要性，对学生的能力考查是一道很好的应用题。

2008年高考物理试题中的数学模型

将物理模型转化为数学模型，使物理问题化为数学问题，运用数学方法进行分析求解，是物理解题的基本策略之一。2008年物理试题涉及的典型数学模型有以下几个方面。

1．平面几何模型：直角三角形外接圆问题

例1（海南物理—6）如图1所示，匀强电场中有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°。电场方向与三角形所在平面平行。已知a、b和c点的电势分别为

V、

和2 V。该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（ ）

A．

V

V B．0V 4V

C． V D．0V V

分析与求解：由公式U=qE可推知，如图2所示，ab中点（外接圆圆心）o的电势为2V，连接oc过o点作oc垂线交圆周于e、f，ef方向即为电场方向，故外接圆上f点电势最低，e点电势最高。设ab=2l，则场强E=(Ub-Ua)/2lcos30o=2/l，由U=Ed有：Ue-2V=El和

2V-Uf=El代入E可算得Uf=0、Ue=4V，故本题选B。

2．解析几何模型：曲线方程问题

例2（上海物理—23）如图3所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界

均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。

（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。

（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，

求所有释放点的位置。

（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处

离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。

分析与求解：（1）设电子的质量为m，电量为e，在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为v0，此后进入电场II做类平抛运动。假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，

则整个运动过程中对电子先后运用动能定理及匀变速位移公式有：

解得 y＝，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（－2L，）

（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进

入电场II做类平抛运动，并从D点离开，同理，有：

，

解得： xy＝，即在电场I区域内满足此方程的点即为所求位置。

（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后做匀速直线运动，经过D点，则有：

，，，

解得：，满足此方程的点即为在电场I区域内所求位置。

3．一元二次方程模型：根的判别式问题

例3（四川理综—24）如图4所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为

m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O/。球心O到该圆周上任一点的连

线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜

。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度

大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。

分析与求解：依题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O/。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力：f＝qvB ，式中v为小球运动的速率。洛仑兹力f的方向指向O/。根据牛顿第二定律有：

。

和

由以上三式得关于v的方程：数解，所以方程必须满足：

。当小球在圆周上运动时v必有实≥0，解得：B≥

。可见，，此时

为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值应为：

带电小球做匀速圆周运动的相应速率为：。

4．级数模型：求和问题

例4（四川理综—25）如图5所示，一倾角为θ＝45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0．09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0．2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过

程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

分析与求解：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由动能定理有：

。以沿斜面向上为正方向，对与挡板碰撞的小物

。

块运用动量动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为：

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为

再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。同理，有

，，。

解以上六式有：，令 则：。由此可知，小物块前4次与

挡板碰撞时，每次挡板对小球的冲量成等比级数，首项为：

总冲量为：，由

，代入数据得：

N·s

得：

数学方法是物理学的研究方法之一，运用数学知识解决物理问题的能力，是物理学的基本能力之一，也是高考考查的重要能力。复习中在数学通法训练的同时，要善于将物理模型

转化为数学模型，用相应的数学方法分析与求解，注意数学技巧的归纳与总结。

方法概述

数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等．

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和

法等．

一、极值法

数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．

1．利用三角函数求极值

y＝acos θ＋bsin θ

＝(cos θ＋sin θ)

令sin φ＝，cos φ＝

则有：y＝(sin φcos θ＋cos φsin θ)

＝sin (φ＋θ)

所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且ymax＝．

2．利用二次函数求极值

二次函数：y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x＋)＋c－＝a(x＋)2＋(其中a、b、c为实常数)，当x＝－ 时，有极值ym＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)．

3．均值不等式

对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值p，则当a＝b时，其积ab取得极大值 ；对于三个大于零的变量a、b、c，若其和a＋b＋c为一定值q，则当a＝b＝c时，其积abc取得极大值 ．

二、几何法

利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种．

1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过