第五章 相交线与平行线
5．1 相交线 5．1.1 相交线
1．在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角． 2．理解对顶角相等，并能运用它解决一些问题． 重点
邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用． 难点
理解对顶角相等的性质的探索． 一、创设情境，引入新课 引导语：
我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线．
本章要研究相交线所成的角和它的特征，相交线的一种特殊形式即垂直，垂线的性质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题．
二、尝试活动，探索新知
教师出示一块布片和一把剪刀，表演剪刀剪布的过程．
教师提出问题：剪布时，用力握紧把手，发生了什么变化？进而使什么也发生了变化？ 学生观察、思考、回答，得出：
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角相应变小．如果改变用力方向，随着两个把手之间的角逐渐变大，剪刀刀刃之间的角也相应变大．
教师提问：我们可以把剪刀抽象成什么简单的图形？
学生回答：画成两条相交的直线，学生画直线AB、CD相交于点O，并说出图中4个角． 教师提问：两两相配共能组成几对角？各对角的位置关系如何？根据不同的位置怎么将它们分类？
学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各对角的度数有什么关系？(学生得出结论：相邻的两个角互补，对顶的两个角相等)
学生根据观察和度量完成下表：
两条直线相交 所形成的角 教师提问： 如果改变∠AOC的大小，会改变它与其他角的位置关系和数量关系吗？ 学生思考回答：
只会改变数量关系而不会改变位置关系． 师生共同定义邻补角、对顶角：
有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角．
如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角．
教师提问：
你同意下列说法吗？如果错误，如何订正？ 1．邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两个角的另一条边在同一条直线上．
分类 位置关系 数量关系 1 / 17第 1 页
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2．邻补角可看成是平角被过它的顶点的一条射线分成的两个角． 3．邻补角是互补的两个角，互补的两个角也是邻补角． 学生思考回答：1、2是对的，3是错的．
第3个应改成：邻补角是互补的两个角，互补的两个角不一定是邻补角． 教师让学生说一说在学习对顶角的概念后，通过实际操作获得的直观体验． 教师把说理过程规范地板书：
在右图中，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，所以∠AOC与∠BOC互补，∠AOC与∠AOD互补，根据“同角的补角相等”，可以得出∠AOD＝∠BOC，类似地有∠AOC＝∠BOD.
教师板书对顶角的性质： 对顶角相等．
强调对顶角的概念与对顶角的性质不能混淆： 对顶角的概念是确定两角的位置关系，对顶角的性质是确定互为对顶角的两角的数量关系．
三、例题讲解
【例】 如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
【答案】 由邻补角的定义，得∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°；由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°.
四、巩固练习
1．判断下列图中是否存在对顶角． 2．按要求完成下列各题．
(1)两条直线相交，构成哪两种特殊位置关系的角？指出下图中具有这两种位置关系的角．
错误! 错误!,图(2))
(2)如图，若∠AOD＝ 90°，那么直线AB与CD的位置关系如何？ 【答案】
1．都不存在对顶角． 2.(1)对顶角，邻补角．
对顶角：∠AOC和∠BOD，∠AOD和∠BOC.
邻补角：∠AOC和∠AOD，∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠BOC和∠BOD. (2)垂直． 五、课堂小结
教师引导学生进行本节课的小结并强调对顶角的概念与对顶角的性质不能混淆：对顶角的概念是确定两角的位置关系，对顶角的性质是确定互为对顶角的两角的数量关系．
通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，并能积极主动地提出各类问题并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足，针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．
5．1.2 垂线(1)
1．了解垂直的概念，能说出垂线的性质“经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线”．
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2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线． 重点
两条直线互相垂直的概念、性质和画法． 难点
两条直线互相垂直的性质和画法． 一、创设情境，引入新课
老师引导学生进行有关的思考： 教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线……这些给大家留下什么印象？在小组内进行讨论．
二、尝试活动，探索新知
教师出示相交线的模型，演示模型，并能引导学生观察思考有关的问题：
固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的？其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a、b所成的四个角有什么特殊关系？
教师再组织学生交流，并能引导学生明白：
当b的位置变化时，角α从锐角变为钝角，其中角α是直角是特殊情况． 教师补充其特殊之处还在于：
当角α是直角时，它的邻补角、对顶角都是直角，即a、b所成的四个角都是直角． 教师引导学生总结并给出垂直的定义及垂直的表示方法： 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD，垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号，如图：
教师引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系： “互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名．如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”．
画图实践，探究垂线的性质：
教师引导学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线．
已知直线l(教师在黑板上画一条直线l)，画出直线l的垂线． 找学生上黑板画出直线l的垂线．
教师追问学生：还能画出直线l的垂线吗？能画几条？
通过师生交流，学生明确直线l的垂线有无数条，即存在，但有不确定性． 师：怎样才能确定直线l的垂线位置？
生：在直线l上方取一点A，过点A画直线l的垂线．(动手画出图形) 教师板书学生的结论：
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
教师让学生通过画图操作将所得的两个结论合并成一个，并板书： 垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 三、尝试反馈，理解新知
1．过点P画射线AM的垂线，Q为垂足．
2．过点P画射线BN的垂线，交射线BN的反向延长线于Q点． 3．过点P画线段AB的垂线，交线段AB的延长线于Q点．
学生画完图后，教师归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线． 四、巩固练习
判断以下两条直线是否互相垂直：
两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
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两条直线相交所成的四个角相等； 两条直线相交，有一组邻补角相等； 两条直线相交，对顶角互补． 【答案】
上述说法中的两条直线均互相垂直． 五、课堂小结
本节课学习了互相垂直、垂线等概念，还学习了过一点画已知直线的垂线的画法，并得出垂线的一个性质，你能说出相关的内容吗？
通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，并能积极主动地提出各种方法解决问题，达到了基本的教学效果，但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足，针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．
5．1.2 垂线(2)
1．了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义． 2．学会度量点到直线的距离． 重点
垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用． 难点
对点到直线的距离的概念的理解． 一、创设情境，引入新课
教师展示课本图5.1－8，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
学生看图、思考．
教师以问题的形式，启发学生思考．
问题1：上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗？
问题2：如果把渠道看成是线段，它的一个端点自然是P，那么另一个端点的位置呢？把江河看成直线l，那么原问题就是怎么连线的数学问题．
学生说出：两点之间，线段最短． 二、尝试活动，探索新知
学生能在教师的引导下用数学眼光思考：
在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中，哪一条最短？ 教师演示教具，给学生直观的感受．
如图：在硬纸板上固定木条l，l外有一点P，转动的木条a一端固定在点P.
使木条l与a相交，左右摆动木条a，l与a的交点A随之变化，线段PA的长度也随之变化．PA最短时，a与l的位置关系如何？用三角尺检验．
教师引导学生画图操作： 学生看图总结，得出结论：
(1)画出直线l及l外的一点P； (2)过P点作PO⊥l，垂足为O；
(3)点A1、A2、A3……在l上，连接PA1、PA2、PA3……
(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短．
教师请同学们与组内的同学进行充分的配合，讨论相应的结论，并选派代表发言． 教师引导学生交流，得出垂线的另一个性质． 教师板书：
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连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 三、尝试反馈，理解新知
关于垂线段，教师引导学生思考： (1)垂线段与垂线的区别与联系； (2)垂线段与线段的区别与联系．
结合课本图形(图5.1－9)，深入认识垂线段PO: PO⊥l，∠POA1＝90°，O为垂足，垂线段PO与其他线段PA1、PA2……相比，长度是最短的．
教师根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名． 教师板书：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
教师强调，在图5.1－9中，PO的长度是点P到直线l的距离，PA1、PA2……的长度都不是点P到直线l的距离．
四、提升练习
判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请订正． (1)直线外一点与直线上一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离； (2)如图，线段AE的长是点A到直线BC的距离； (3)如图，线段CD是点C到直线AB的距离． 【答案】
(1)错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； (2)正确；
(3)错误，线段CD的长是点D到直线BC的距离． 五、课堂小结
本节课学习了哪些新的知识，对于垂线段的理解有没有什么收获？是不是学会了如何作出垂线段？你还有哪些没有解决的问题呢？
大部分学生经历观察、操作、想象、归纳、交流等活动，进一步发展空间观念，培养用几何语言准确表达的能力并且了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，但是度量点到直线的距离的方法掌握得还不够好．
5．1.3 同位角、内错角、同旁内角
明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件，了解其命名的含义． 重点
同位角、内错角、同旁内角的概念． 难点
各对角之间关系的辨认以及复杂图形的辨认． 一、创设情境，引入新课
中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角，这就是我们这节课要讨论的问题：两条直线和第三条直线相交的关系．
学生能由教师的叙述认真地观察风筝的图形并能抽象出以下图形． 二、尝试活动，探索新知
教师组织学生讨论：两条直线和第三条直线相交的关系． 如图：直线a1、a2被直线a3所截，构成了八个角． 学生在教师的组织下完成以下活动：
观察∠1与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同侧，并且分别位于直线a1、a2的同一侧，这样的一对角叫做“同位角”．
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观察∠3与∠5的位置：它们分别在第三条直线a3的异侧，并且都位于两条直线a1、a2
之间，这样的一对角叫做“内错角”．
观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同旁，并且都位于两条直线a1、a2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”．
学生通过小组合作交流，讨论以下各对角的关系： ∠1与∠5；∠2与∠6；∠2与∠5；∠2与∠8； ∠3与∠5；∠3与∠7；∠3与∠8；∠4与∠8. 教师总结：
同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8. 内错角：∠2和∠8，∠3和∠5. 同旁内角：∠2和∠5，∠3和∠8. 三、尝试反馈，理解新知 教师出示以下问题：
在下面的同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你说说这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？
学生思考，教师总结：
四边所在的直线正好是前提中的三线，并且有两条边所在的直线是同一条直线． 四、巩固练习
找出∠1、∠2、∠3中哪两个是同位角、内错角、同旁内角． 【答案】
∠1、∠3是同位角， ∠2、∠3是内错角， ∠1、∠2是同旁内角． 五、课堂小结
本节课的内容你都掌握了吗？适当地强调有关的知识点．
如何确定“三线”构成的“八角”(注意“一个前提”)？如何根据“关系角”确定“三线”(注意找“前提”)?
本节课的教学内容量有点大，学生认识角的问题有一定的难度，所以本节课的教学效果一般，小组同学的合作学习效果还可以．通过本节课的学习，大部分学生能明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件，并能在各类图形中找出各类角．
5．2 平行线及其判定 5．2.1 平行线
了解平行线的概念、平面内两条直线相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论．
重点
探索和掌握平行公理及其推论． 难点
对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质． 一、创设情境，引入新课
教师提问：两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？ 学生回答：
两条直线相交有且仅有一个交点．
在平面内，两条直线除了相交外， 有其他的位置关系吗？ 学生思考回答：不相交的情况．
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二、尝试活动，探索新知 教师演示教具：
顺时针转动木条b两圈，教师组织学生交流并达成共识． 学生思考：
把a，b想象成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动b时，直线b与直线a的交点的位置将发生什么变化？在这个过程中，有没有直线b与c不相交的情况？
可以想象一定存在一个直线b的位置，使它与直线a没有交点． 学生结合演示的结论，与教师共同用数学语言描述平行的定义：
同一平面内，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行．换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与b是平行线，记作“∥”，这里“∥”是平行符号．
教师板书：平行线的定义及表示方法． 教师应强调平行线定义的本质属性： 第一，同一平面内的两条直线； 第二，没有交点的两条直线．
同一平面内，两条直线的位置关系：
教师引导学生从同一平面内，两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系． 在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，两者必居其一． 即两条直线不相交就是平行，或者不平行就是相交． 教师引导学生完成以下活动：
1．在转动教具木条b的过程中，有几个位置能使b与a平行？ 直线b绕直线a外一点B转动，有且只有一个位置使a与b平行． 2．用直尺和三角尺画平行线： 已知：直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 3．通过观察画图，归纳平行公理及其推论．
(1)学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论，并在充分交流后，归纳平行公理． (2)在学生充分交流后，教师板书： 平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． (3)比较平行公理和垂线的第一条性质： 共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明过一点与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的．
不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外；垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外．
三、尝试反馈，理解新知
师生共同归纳平行公理的推论：
(1)学生直观判定过B点、C点的直线a的平行线b、c是互相平行的． (2)从直线b、c作图的过程说明直线b∥直线c. (3)学生用三角尺与直尺用平推的方法验证b∥c. (4)师生用数学语言表达这个结论，教师板书：
两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 结合图形，教师引导学生用符号语言表达平行公理的推论：
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如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 四、课堂小结
本节课主要学习了平行线的概念及其表示方法，并学习了用直尺和三角尺画平行线，通过具体的操作活动，加深了学生对本节内容的理解，并能灵活运用．
通过本节课的教学，学生了解了平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论的内容并能在实际问题中予以正确的运用，但是个别同学的学习态度不端正，教师要加以引导与教育．
5．2.2 平行线的判定(1)
掌握两直线平行的判定条件，并能解决一些问题． 重点
探索并掌握直线平行的条件． 难点
掌握直线平行的条件． 一、创设情境，引入新课
教师出示有关的几个问题，复习巩固上节课的知识： 学生思考下列问题：
1．填空：经过直线外一点，________与这条直线平行．
2．画图：已知直线AB，点P在直线AB外，用直尺和三角尺画过点P的直线CD，使CD∥AB.
3．反思：在用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起什么样的作用？ 学生讲出是为画∠PHF，使所画的角与∠BGF相等． 教师指出：既然两个角相等与两条直线平行能联系起来，那么这两个角具有什么样的位置关系，我们是否得到了一个判定两直线平行的方法？这是本课要研究的内容之一．
二、尝试活动，探索新知 1．根据上图，分析问题．
(1)让学生先描述∠1、∠2的方位．
(2)教师指出像∠1、∠2这样分别位于直线CD、AB的下方，又在直线EF的右侧，也就是位置相同的两个角叫做同位角．
(3)让学生识别图中其他的同位角，并标记出它们，要求正确而又不遗漏． 2．归纳利用同位角判定两条直线平行的方法．
(1)学生根据同位角的意义以及平推三角尺画出平行线的活动，叙述判定两条直线平行的方法．
教师引导学生正确表达平行线的判定方法1，并板书：
方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单记为：同位角相等，两直线平行．
(2)教师引导学生，结合图形用符号语言表述两直线平行的判定方法1：如果∠1＝∠2，那么AB∥CD.
教师强调两直线平行判定方法1的条件中有两层意思：第一层意思是这两个角是这两条直线被第三条直线所截而成的一对同位角；第二层意思是这两个角相等，两者缺一不可．
(3)简单应用
教师表演木工用角尺画平行线的过程，让学生说出用角尺画平行线的道理(结合课本图5. 2－7)．
教师板书规范的说理过程：因为∠DCB与∠FEB是直线CD、EF被直线AB所截而成的同位角，而且∠DCB＝∠FEB，即同位角相等，根据直线平行的判定方法，从而得CD∥EF.
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三、尝试反馈，理解新知
1．探索两条直线平行的其他方法：
(1)演示教具，使学生体会当内错角相等时，两条直线平行． (2)师生归纳判定两条直线平行的方法： 学生思考：
为什么内错角相等时，两条直线平行？
你能用学过的两直线平行的判定方法1来说明吗？ 学生猜想、讨论，教师引导学生说理． 2．教师板书：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单记为：内错角相等，两直线平行．
学生思考、讨论：同旁内角数量上满足什么关系时，两直线平行？ (1)因为∠4＋∠2＝180°，
而∠4＋∠3 ＝180°，根据同角的补角相等， 所以有∠3＝∠2，即内错角相等， 从而a∥b.
(2)因为∠4＋∠2＝180°，
而∠4＋∠1＝180°，根据同角的补角相等， 所以有∠2＝∠1，即同位角相等， 从而a∥b.
结合图形，用符号语言表达：如果∠4＋∠2＝180°，那么a∥b. 3．师生归纳两条直线平行的判定方法： 教师板书：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行． 简单记为：同旁内角互补，两直线平行． 四、提升练习
已知直线a、b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°，试判断直线a、b的位置关系，并说明理由．
【答案】
a∥b，可以用平行线的三种判定方法加以说明，其一：因为∠1＋∠2＝180°，又∠3＝∠1(对顶角相等)，所以∠2＋∠3＝180°，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)，其他略．
五、课堂小结
可以采用师生问答的方式或先让学生归纳，然后教师补充的方式进行，发挥学生的主体作用，培养学生的归纳能力．
学生能由教师的引导思考： 通过本节课的学习，你学习了什么知识？你有什么收获呢？你还有哪些困惑呢？能谈一谈你的想法吗？
通过本节课的学习，学生理解并掌握了平行线的三种判定方法，在教学过程中运用实例引导及提问思考的教学方式，调动学生的活动积极性，使学生能够更深入理解并运用新知识．
5．2.2 平行线的判定(2)
探索两直线平行的条件，并能应用其解决一些实际问题． 重点
直线平行的条件的应用．
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难点
选取适当的判定直线平行的方法进行说理． 一、复习引入
师：我们学过哪些判定两直线平行的条件？ 生：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． 二、尝试活动，探索新知
【例】 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
要判定两条直线是否平行，先考虑学过哪些判定平行线的方法，题中的条件与某种判定方法的条件是否相同？
学生先口述判断的理由，教师纠正，并规范板书两步推理的过程： 如图．
因为b⊥a，c⊥a， 所以∠1＝∠2＝90°， 从而b∥c.
教师说明：这个说理过程有两个因为……，所以……，第一个“因为”、“所以”是根据垂直的定义，第二个只写出“所以”的内容b∥c，中间省略一个“因为”的内容，这个内容就是第一个“所以”中的∠1＝∠2.这样处理是使说理表达更简练，第二个“因为”、“所以”是根据同位角相等，两直线平行．
三、尝试反馈，理解新知
例题讲解后，师提问：你还能利用其他方法说明b∥c吗？
教师鼓励学生模仿课本方法用图(1)内错角相等的方法写出理由，用图(2)同旁内角互补的方法写出理由．
如果∠1、∠2不是同位角，也不是内错角、同旁内角，如图(3)，教师启发学生用化归思想将它转化为已知问题来解决，并且有条理地陈述理由：
如图(3)，
因为a⊥b，c⊥a，
所以∠1＝90°，∠2＝90°. 因为∠3＝∠1＝90°， 所以∠3＝∠2.
从而b∥c(同位角相等，两直线平行)． 四、提升练习 已知：如图，直线a、b被直线c所截，且∠1＋∠2 ＝180°，那么直线a与b平行吗？为什么？
【答案】
a∥b，理由略． 五、课堂小结
通过本节课的学习，你学习了什么知识？你有什么收获呢？对于平行的判定是否有了一个清晰的思路，针对不同的情况，学生应该选取适当的定理进行平行的判定．
通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，并能积极主动地提出各类问题并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足．针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求
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解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．
5．3 平行线的性质 5．3.1 平行线的性质(1)
掌握平行线的三个性质，并能用它们进行简单的推理和计算． 重点
探索并掌握平行线的性质，能用平行线的性质进行简单的推理和计算． 难点
能区分平行线的性质和判定方法，平行线的性质与判定的混合应用． 一、创设情境，引入新课
现在同学们已经掌握了利用同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又如何表达？
二、尝试活动，探索新知 教师引导学生进行画图活动：
用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b，再画一条截线c与直线a、b相交，标出所形成的八个角(如图所示)．
学生测量这些角的度数，把结果填入表内． 角 度数 角 度数 ∠1 ∠5 ∠2 ∠6 ∠3 ∠7 ∠4 ∠8 学生根据测量所得的数据做出猜想．
图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？ 图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？ 图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？ 在仔细分析后，让学生写出猜想． 学生由教师的引导进行小组活动：
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 学生结合上图，用符号语言表达平行线的这三条性质，教师同时板书平行线的性质和平行线的判定方法．
师生共同归纳平行线的性质，教师板书：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等． 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等． 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角互补．
三、尝试反馈，理解新知
教师引导学生理清平行线的性质与平行线的判定方法的区别． 交流后在小组内归纳：两者的条件和结论正好相反． 平行线的性质 平行线的判定 因为a∥b, 因为∠1＝∠4， 所以∠1＝∠4. 所以a∥b. 因为a∥b, 因为∠2＝∠4， 所以∠2＝∠4. 所以a∥b.
因为a∥b, 因为∠2＋∠3＝180°，
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所以∠2＋∠3＝180°. 所以a∥b. 四、提升练习
1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是( )
A．先右转80°，再左转100° B．先左转80°，再右转80° C．先左转80°，再左转100° D．先右转80°，再右转80°
2．如图，直线a∥b，∠1＝ 54°，那么∠2、∠3、∠4各多少度？ 【答案】 1．B
2．∠2＝54°，∠3＝54°，∠4＝126° 五、课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结： 通过本节课的学习，我们主要学习了平行线的性质与平行线的判定方法有什么区别和联系．你能区别清楚吗？
通过本节课的学习，学生能掌握平行线的三条性质并能利用这三条性质进行适当的推理与论证，学生在本节课的教学活动中能积极地参与到学习活动中来，并能及时地提出有关的问题和解决问题的方法．
5．3.1 平行线的性质(2)
能够综合运用平行线的性质和判定方法解题． 重点
平行线的性质和判定方法的综合应用． 难点
平行线的性质和判定方法的灵活运用． 一、创设情境，引入新课
已知：如图，BE是AB的延长线，AD∥BC，AB∥CD，若∠D＝100°，则∠C＝________，∠A＝________，∠CBE＝________．
二、尝试活动，探索新知
1．已知：如图，a∥c，a⊥b，那么直线b与c垂直吗？为什么？
学生容易判断出直线b与c垂直．教师应引导学生正确规范的书写证明过程． 2．实践与探究
下列各图中，已知AB∥EF，点C任意选取(在AB、EF之间，又在BF的左侧)．请测量各图中∠B、∠C、∠F的度数并填入表格．
图(1) 图(2) ∠B ∠C ∠F ∠B与∠F度数之和 通过上述实践，试猜想∠B、∠F、∠C之间的关系．写出这种关系，试加以说明． 教师投影题目：
学生依据题意，画出类似图(1)、图(2)的图形，测量并填表，并猜想：∠B＋∠F＝∠C. 教师分析后，学生先推理说明，师生交流，教师给出说理过程．
作CD∥AB，因为AB∥EF，CD∥AB，所以CD∥EF(两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行)，
所以∠F＝∠FCD(两直线平行，内错角相等)．
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因为CD∥AB，
所以∠B＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)． 所以∠B＋∠F＝∠BCF. 三、例题讲解
【例】 右图是一块梯形铁片的剩余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补． 于是∠D＝180°－∠A＝80°，∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°，所以梯形的另外两个角的度数分别是80°、65°.
四、提升练习
请结合图形，根据所给定的平行线填入所需的角，并说明理由．(能否找出所有的情况) 1．∵AB∥CD，
∴∠________＝∠________( )． 2．∵AD∥BC，
∴∠________＝∠________( )． 3．∵ AE∥CF，
∴∠________＝∠________( )． 【答案】
1．BAC DCA 两直线平行，内错角相等 2．DAC ACB 两直线平行，内错角相等 3．EAC ACF 两直线平行，内错角相等 五、课堂小结
归纳本节课的知识点：
平行线的性质与判定方法在实际问题中的应用．
通过本节课的教学，学生能理解并能够综合运用平行线的性质和判定方法解答实际问题，学生学习的积极性较高，能及时地提出问题并能主动地在小组内解决问题，但个别学生的学习态度要加强教育与引导．
5．3.2 命题、定理、证明
了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论． 重点
理解命题的概念和区分命题的题设与结论． 难点
区分命题的题设和结论． 一、创设情境，引入新课 教师出示下列问题：
1．平行线的判定方法有哪些？ 2．平行线的性质有哪些？
学生能积极地思考教师所出示的各个问题，复习巩固有关的知识点，为本节课的学习打下良好的基础．
学生回答．
二、尝试活动，探索新知
了解命题和它的构成，教师给出下列语句：
1．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2．等式两边都加上同一个数，结果仍是等式．
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3．对顶角相等．
4．如果两条直线不平行，那么同位角不相等． 思考：你能说一说这4个语句有什么共同点吗？并能总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断．初步感受有些数学语言是对某件事作出判断的．
教师给出命题的定义：
判断一件事情的语句，叫做命题． 命题的组成：
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
有的命题没有写成“如果……那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……那么……”的形式．
判断语句“画AB∥C'D”有没有判断成分，是不是命题．学生能举例说明是命题和不是命题的语句．
与同组同学共同分析上述四个命题的题设和结论，重点分析第2、3个语句． 第2个命题中，“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设，“结果仍是等式”是结论．
第3个命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论． 真命题与假命题： 教师出示问题：
1．如果两个角相等，那么它们是对顶角． 2．如果a>b，b>c，那么a>c.
3．如果两个角互补，那么它们是邻补角． 你认为这几句话对吗？ 它们是不是命题？ 教师定义：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题．假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题．
三、尝试反馈，理解新知 明确命题有正确与错误之分：
命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据．
1．“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它的题设和结论分别是什么？ 2．命题“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”正确吗？命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”正确吗？再举出一些命题的例子，判断它们是否正确．
学生能由教师的讲解理解命题有真有假，并能通过举反例说明命题的错误． 解答：1.是命题，题设是“等式两边乘同一个数”，结论是“结果仍是等式”． 2．第一个命题正确，第二个命题错误，举例略． 四、例题讲解
【例】 如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c. 证明：∵a⊥b(已知)，
∴∠1＝ 90°(垂直的定义)． 又b∥c(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
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∴∠2＝∠1＝ 90°(等量代换)， ∴a⊥c(垂直的定义)．
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)．它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
五、课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结，强调重要的知识点．
总结本节课所学习的知识并能把本节课的知识形成知识网络． 本节课的教学内容较简单，通过本节课的教学，学生能在了解命题的概念并能区分命题的题设和结论的基础上知道命题有真假之分，其中的真命题又叫做定理，对于假命题只要举出反例加以说明即可，其中的推理过程叫做证明．学生小组合作学习的积极性较高，体现出学生愿学乐学的心态，教师要及时地鼓励与表扬．
5．4 平移(1)
通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的连线平行且相等的性质．
重点
探索并理解平移的性质． 难点
对平移的认识和性质的探索． 一、创设情境，引入新课
教师出示课本如图的图案并引导学生进行认真的观察： 分析出这些美丽的图案是由若干个相同的图案组合而成的． (1)它们有什么共同的特点？
(2)能否根据其中的一部分绘制出整个图案？
根据上述的特点，这五幅美丽的图案可以根据上述分析的“基本图形”按照一定的要求绘制出整个图案．
二、尝试活动，探索新知 1．教师提出问题：
如何在一张半透明的纸上，画出一排形状大小如图的雪人？ 学生描图，描出三个雪人图． 2．观察、思考：
(1)学生在自己所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点：鼻尖A与A′、帽顶B与B′、纽扣C与C′，连接这些对应点．
(2)观察这些线段，它们的位置关系如何？数量关系呢？
学生用平推三角尺的方法验证三条线段是否平行，用刻度尺度量三条线段是否相等． 教师在黑板上板书学生的发现：
AA′∥BB′∥CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(3)学生再作出连接一些其他对应点的线段，验证前面的发现是否正确． 3．师生归纳：
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一个点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应的，连接各组对应点的线段平行且相等．
4．给出平移的定义：
定义：一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移变换，简称
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平移．
教师以课本图为例解说． 三、尝试反馈，理解新知 教师出示例题：
【例】 如图(1)，平移△ABC，使点A移动到点A′.画出平移后的三角形A′B′C′. 学生能由教师的引导完成解答过程： 解：如图(2)，连接AA′，分别过B、C作AA′的平行线l、l′，在l上截取BB′＝AA′，在l′上截取CC′＝AA′，连接A′C′、A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求作的三角形．
关于平移的方向，可结合课本图说明图形平移方向不一定是水平的． 教师引导学生举出生活中利用平移的例子，如人在电梯上两个不同时刻的位置关系及坐登山缆车时人在吊箱里两个不同时刻的位置关系都是平移；
黑板报中花边设计利用了平移，奥运会五环旗图案五环之间通过平移得到…… 四、巩固练习
1．图形经过平移后，________图形的位置，________图形的形状，________图形的大小．(填“改变”或“不改变”)
2．经过平移，每一组对应点所连成的线段________．
3．线段AB是线段CD平移后得到的图形，点A为点C的对应点，在下图中作出点B的对应点D的位置．
【答案】
1．改变 不改变 不改变 2．平行且相等 3．略
五、课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结：
通过本节课的学习，你都学会了哪些知识？你能谈一谈你在学习中的收获与不足之处吗？
学生能由教师的引导完成本节课的小结，适当地总结本节课的知识点，并能把本节课的知识形成知识网络，能积极主动地发言，谈谈本节课的收获与不足之处．
本节课中，学生通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的连线平行且相等及对应线段平行且相等、对应角相等的性质，但是学生在理解旋转与平移的区别上有一定的困难，要加强练习．
5．4 平移(2)
认识和欣赏平移在现实生活中的应用，能运用平移进行一定的图案设计． 重点
观察、分析图形的结构与形成过程，认识平移在图案设计中的应用． 难点
通过平移，进行有创意的图案设计． 一、创设情境，引入新课
教师展示右图的图案，并出示相关性的问题：
右图是由两个正三角形拼成的，试分析△ABC经过怎样的变化得到△DCE？点A，B，C的对应点分别是什么？连接对应点的线段有什么特性？
学生能由教师的引导先思考：
什么叫做平移？图形的平移变换有什么特点呢？生活中的平移现象有哪些呢？
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然后观察教师出示的图案，认真分析其形成的过程及用到的知识点，并能与组内的同学进行充分的讨论并达成共识．
二、尝试活动，探索新知
教师出示课本中的“数学活动”中“活动2”的图案并引导学生进行认真的观察： 学生由教师的引导进行观察交流后，说出这是一幅天马行空图：白马与黑马除了颜色差异外，形状、大小完全相同．
学生继续思考并在组内讨论下列问题： 这个图案可以由什么图形平移形成？
不考虑颜色，这个图案是由一匹飞马平移形成；考虑颜色，由于白马与黑马的形状、大小完全相同，白马与黑马镶嵌着，白马与白马之间、黑马与黑马之间是平移变换，而且白马与黑马若不考虑颜色也是平移变换．
1．师生分析每一匹马是怎样在正方形上平移得到的．
2．学生画、剪、贴，在正方形(与课本中的正方形一样大)上形成一匹马，再剪下，把马涂上颜色．
各小组的同学把自己制作的飞马拼成天马飞天图案． 各小组展示自己操作的成果，评判哪一组制作 认真、图案更优美． 三、巩固练习
在方格纸上，利用平移画出长方形ABCD的立体图，其中点D′是点D的对应点．(要求在立体图中，看不到的线条用虚线表示)
四、课堂小结
教师引导学生进行本节课的小结： 在这节课的学习活动中，你进行了哪些思考？你进行了哪些操作？你学到了什么呢？你还有哪些没有解决的问题呢？
学生能回顾本节课的学习活动中自己的学习状况、学习到的知识及方法、参与课堂学习的程度，同时逐渐明白不仅要重视结果，更要重视探索的过程．
本节课在上节课的基础上，学生能由平移的性质进行简单的平移作图并能认识和欣赏平移在现实生活中的应用，运用平移作图进行一定的图案设计，大部分同学都能参与到学习活动中来，但是仍有个别的同学方法有问题，老师要加以个别的指导．
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