柯西不等式的应用及推广

浅谈柯西不等式的应用及推广

【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 nnn22aaaaibiaibi 当且仅当12...nb1b2bni1i1i1i1,2,.n..,2时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当a1a2an0或b1b2bn0时，不等式显然成立 令Aai Baibi Cbi ，当a1,a2,,an中至少有一个不为零时，可知A>0 22i1i1i1nnn构

造二次函数fxAx22Bx2C- 1 -

，展开得：

fxaix2aibixbiaixbi0 故fx的判别式4B24AC0 2222i1i1nn移项得ACB，得证。 21.2 向量法证明 令a1,a2,,an，b1,b2,,bn.则对向量,有cos,1，由，a1b1a2b2anbn，ai,bi22i1i12n2n得2nn2n2aibiaibi.当且仅当cos,1，即,平行时等号成立。 i1i1i11.3 数学归纳法证明 i ) 当n=1时，有a1b1a1b2，不等式成立。 222当n=2时，a1b1a2b2a1b1a2b22a1b1a2b2 22222 a1a2222222b21222222222b2a1b1a2b2a1b2a2b1 2因为a1b2a2b12a1b1a2b2，故有a1b1a2b2a1a222b212b2 当且仅当a1b2a2b1，即a1a2时等号成立。 b1b2ii）假设n=k时不等式成立，即 a1b1a2b2akbk2a12a22ak2b12b22bk2 当且仅当aa1a2k时等号成立。那么当n=k+1时， b1b2bka1b1a2b2akbkak1bk12 222a1b1a2b2akbk2ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1aaa1a2akb1b2bk2ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk12222222222222211a2ak2a2ak1bbbabbb12k222212k1221222222222bk1b1ak1akbk1bkak1ak1bk1 222222a1a2anb1b2bn 当且仅当a1bk1b1ak1,a2bk1b2ak1,,akbk1bkak1时等号成立，

- 2 -

即aaa1a2kk1时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。 b1b2bkbk1由i ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。 1.4 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数a1,a2,,an;b1,b2,,bn有柯西—拉格朗日恒等式 a21a2anb1b2bna1b1a2b2anbn222222222a1b2a2b1a1b3a3b1a1bnanb1a2b3a3b22a2bnanb22an1bnanbn12由实数性质0R可得柯西不等式成立。 2 以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。 2 柯西不等式的推广 2.1 命题1 nnn222若级数ai与bi收敛，则有不等式aibiaibi2。 i1i1i1i1i1nn2nn2n222证明：ai,bi收敛，0aibiaibi i1i1i1i1i1nnn2aibi收敛，且limaibilimailimbi2 ni1i1ni1ni1nnn2从而有不等式aibiaibi2成立。 i1i1i12nnn222.2 命题2[3] nn2若级数ai与bi收敛，且对nN有aibiaibi2，则对定义在a,b上i1i1i1i1i122bbb22的任意连续函数fx,gx有不等式fxgxdxfxdxgxdx aaa2nnn2证明：因为函数fx,gx在区间a,b上连续，所以函数fx与gx、f2x、g2x在 - 3 -

a,b上可积，将a,b区间n等分，取每个小区间的左端点为i，由定积分的定义得： fxdxlimfx,gxdxlimgxanii1anii1bnbnbaf2xdxlimf2ix,g2xdxlimg2ixni1ani1nbn 令af2121,b21g1，则ai与bi收敛，由柯西不等式得 222i1i1nnnn2n2figixfixgix,i1i1i1limfigixlimf2ixlimg2ixni1ni1ni1bbb22xdx。 fxgxdxfxdxgaaa22n2从而有不等式 nn2.3 赫尔德不等式[4] 设a10,b10,(i1,2,,n),p0,q0,n1pn1q满足111,pq则：pqpq，等号成立的充分必要条件是ababab,2,,n;0. iiiiiii1i1i1i1证明：首先证明n11111时，对任何正数A及B，有ApBqAB. pqpq对凹函数fxlnx,有： 1P1q111P1qpqlnABlnAlnBlnABABAB. pqpqpq令Aaknpaii11p,Bbknqbii11q,代入以上不等式并对于k1,2,,n，把这n个不等式pqnnakbk1ak1bk111,即 相加.11nqnqpqpk1k1pnnpqbipqaiaibii1i1i1i1 - 4 -

aibipq成立。等号成立的充分必要条件是：,即 ababiiiinnpqi1i1i1aibii1i1nn1pn1qpqaibii1,2,,n;0. pq3 柯西不等式的应用 我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样。柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 3.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用 柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索。 1x2xn1anx例 1：设定义在R上的函数fxlg，若oa1,nN,且nxn2,求证：f2x2fx. 分析：要证明f2x2fx，即证： 12x22xn1an2x1x2xn1anx lg2lgnn2xx12x22xn1an2x1x2xn1anx只需证： 2nn2xx证明： n12x22xn1an2x12121212x22xn1an2x2x2x12xxn1anxx21 又因0a1,nN,且n2,故11x2xn1anx x2xx12x22xn1an2x1x2xn1anx nn2212x22xn1an2x1x2xn1anx2lg即lg nn2xxf2x2fx 例 2：已知a1,a2,,an为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式

- 5 -

a1ana2111。 22n22n2证明：由柯西不等式得： an1a11a21111n12na1a2an2 a111a1a222n2na1a2an122111a1a1a212n。 于是22n1212n2n111a1a2an又因为a1,a2,,an为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最1112n1。 大的不小于你，这样就有111a1a2an111112n111。 所以有1n1112n2a1a2an111a1a1a212n 因为22n112n22n111a1a2an111112n111 而1n1112n2a1a2an所以有a1ana2111。 222n2n例 3：设ai0i1,2,n,则证明：i1nn2ajai2n1a1a2an j1证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数x1,x2,,xn,有 - 6 -

x21222x2xn121212x1x2xn 2x1x2xn 2即x1x2xnn22n于是i1nn22ajaii1j1n2ajai/n1 j12nnn11n1ain1a1a2an。 ajai=n1i1n1i1j1 3.2 利用柯西不等式求最值 例[5]已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a2b3c6d5 试求a的最值 解：由柯西不等式得，有2b3c6d2222222111bcd 2362即2b23c26d2bcd由条件可得，5a23a 22解得，1a2当且仅当2b3c6d时等号成立， 11123611,d时，amax2 3621 b1,c,d时，amin1 33代入b1,c 3.3 求函数的极值 柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值。事实上，由a1b1a2b2anbn2a12a22an2b12b22bn2可得 a1b1a2b2anbna21a2anb1b2bn,如将上式左边当作一22222个函数，而右边值确定时，则可知a1b1a2b2anbn的最大值与最小值分别是a21a2anb1b2bn22222与a21a2anb1b2bn,22222且取最大值与最小值的充要条件是aa1a2n. b1b2bn 反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，

- 7 -

则可求出此函数的最小值。 例 1：求函数y4x293x的最大值。 解：函数y4x293x的定义域为：2,3 y4x293x4x233x42当且仅当43x32x即x所以ymax19 32x223x2 542,3时等号成立。 19例 2：求函数yasinxbcosx的极值，其中a,b是常数。 解：由柯西不等式：y2asinxbcosxa2b2sin2xcos2xa2b2 2故有a2b2y当且仅当a2b2。 sinxcosxa时，即xarctankkZ时， abb函数yasinxbcosx有极小值a2b2，极大值a2b2。 例 3：已知a,b,c,R为常数，当xyzR时，求函数fx,y,zaxbycz的最2222大值与最小值。 解：由柯西不等式： f2x,y,zaxbycza2b2c2x2y2z2a2b2c2R2 2故fx,y,zRabc。 222当且仅当xyz1,即xat,ybt,zct t为常数时等号成立。 abc2222将xat,ybt,zct代入xyzR得abctR 则t222222Rabc222,即当x,y,zRabc22a,b,c时， fx,y,zRa2b2c2分别为所求的最大值与最小值。 3.4 求参数范围 例：已知对于满足等式x3y3的任意实数，对x,y恒有axy2,求实数a的取值22范围。 - 8 -

解：axyax113ya2x23y23a21 33要使对x,y恒有axy2axymax2 即3a2121a1 3.5 三角形及三角函数问题 例 1：设p是VABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明xyz1a2b2c2 2R证明：由柯西不等式得 xyzax111111bycyaxbycz abcabcabcabc 4R2R记S为VABC的面积，则axbycz2S2xyz故不等式成立。 abcabbcca11abbccaa2b2c2 2Rabc2R2R例 2：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的43倍，即a2b2c243S,其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积。 证明：由海伦——秦九韶面积公式：Sssasbsc,其中s2abc. 2于是 16S2abcbcacababc2b2c2c2a2a2b2a4b4c4 由柯西不等式： bc22c2a2a2b2b4c4a4c4a4b4a4b4c4 22b2c2a2当且仅当222,即a=b=c时等式成立。 cab于是4abc变形得： 4444bc22c2a2a2b2。 a4b4c42b2c22c2a22a2b232b2c22c2a22a2b2a4b4c4  - 9 -

即a2b2c22316S 故有a2b2c243S,当且仅当a=b=c时等号成立。 例 3：在三角形ABC中，证明证明：由柯西不等式： 3333。 sinnAsinnBsinnC22sinnAsinnBsinnC21sinnA1sinnB1sinnC2121212sin2nAsin2nBsin2nC2 即sinnAsinnBsinnC3sin2nAsin2nBsin2nC （1） 因为 sin2nAsin2nBsin2nC1cos2nA2cos2nA1cos2nB1cos2nC221cos2nBcos2nC22cos2nAcosnBnCcosnBnC2cos2nAcosnBnCcosnBnC2cos2nAcosnBnC故sin2nAsin2nBsin2nC2cos2nAcosnBnC （2） 又因为 cosnA1cosnA22cosnAcosnBnC2cosnA1cosnA2 2192因而2cosnAcosnA2 （3） 449222将（3）代入（2）得sinnAsinnBsinnC （4） 492将（4）代入（1）得sinnAsinnBsinnC3 42即3333sinnAsinnBsinnC。 223.6 利用柯西不等式解方程[5] x2y2z2例 在实数集内解方程 8x6y24z39解：由柯西不等式，得 x

2y2z2862248x6y24z （1） 222- 10 -

x2y2z2862242296436576392 4又8x6y24z392，即x2y2z2862248x6y24z 2222xyz （2） 86246918,z。 （2）式与8x6y24z39联立，则有x,y132613即（1）式取等号。由柯西不等式取等号的条件有3.7 用柯西不等式解释样本线性相关系数【6】 在《概率论与数理统计》一书中，在线性回归中，有样本相关系数 rxxyyiii1nxxyy2iii1i1nn，并指出r1且r越接近于1，相关程度越大；r越接近于20，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 记aixix,biyiy，则rabi1niinaii1n，由柯西不等式有r1 22bii1当r1时，aibii1n2aii1n2bi 此时，2i1nyiybik，k为常数。 xixai点xi,yi i1,2,n均在直线yykxx上，当r1时， abiii1n2aii1n2bi1n2i 即abab22iiii1i1i1nnn2i0 而22ababababiiiiijji 22i1i1i11ijnnnn1ijnabijajbi0aibjajbi02yybibik，k为常k,k为常数。ixixaiai数，点xi,yi均在直线yykxx附近，所以r越接近于1，相关程度越大；当r0ai,bi不具备上述特征，时，从而找不到合适的常数k使点xi,yi都在直线yykxx附近。所以r越接近于0，则相关程度越小。 4 中学数学中柯西不等式的应用技巧 - 11 -

在上文柯西不等式的应用中可以看出,柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且它对初等数学也有很好的指导作用,利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题。 下面我们特别以柯西不等式证明不等式为例，谈谈此类问题的解题技巧。 4.1 巧拆常数 例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：2229 abbccaabc分析：因为a、b、c均为正 所以为证结论正确只需证2abc而2abcabbcca 又9111 21119 abbcca4.2 重新安排某些项得次序 例：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2R 求证：ax1bx2bx1ax2x1x2 分析：不等号左边为两个二项式积，a、b为非负数，x1,x2R，每个两项式可以使用柯西不等式，直接做得不到预想结论。当把两个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 4.3 改变结构 例：若abc 求证：114 abbcac分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了 acabbc ac ac0 11结论改为abbc4 abbc4.4 添项 例：a,b,cR 求证：abc3 bccaab2分析：左端变形abc111111abc bccaabbccaab9即可。 2只需证此式参考文献 [1] 王学功. 著名不等式.[M].中国物资出版社 [2] 南山. 柯西不等式与排序不等式.[M].湖南教育出版社 [3] 李长明 周焕山. 初等数学研究[M].高等教育出版社

- 12 -

[4] 程其襄,张奠宙,魏国强. 实变函数与泛函分析基础.[M].高等教育出版社 [5] 李永新,李德禄. 中学数学教材教法.[M].东北师大出版社 [6] 盛聚,谢式千,潘承毅. 概率与数理统计.[M].高等教育出版社

- 13 -