2017-2018学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）月考数学试卷（12
月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A．y=（x+2）2+2
B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2
2．从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70°
4．我市药品监察部门为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，某药品原价每盒28元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．28（1﹣2x）=16 B．16（1﹣2x）=28 C．28（1﹣x）2=16 D．16（1﹣x）2=28 5．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
6．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
7．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
8．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题： ①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③函数图象最高点的纵坐标是
；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称． 其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）
A．（﹣3，7） B．（﹣1，7） C．（﹣4，10） D．（0，10）
10．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC= ．
13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣6x=8（x﹣6）的两个实数根，那么这个直角三角形的内切圆半径为 ．
14．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 ．
15．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是 度．
三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（8分）解方程： （1）x2﹣4x+1=0
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
17．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有2个完全相同的小球，分别标有数字0和﹣2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣2，0和1，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y） （1）写出先Q所有可能的坐标；
（2）求点Q在x轴上的概率．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
19．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点． （1）求证：AB与⊙O的相切； （2）若AB=4，求线段GF的长．
21．（9分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
2017-2018学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）月考数学试
卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A．y=（x+2）2+2
B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2
【解答】解：∵抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2）， ∴所得抛物线的函数关系式是y=（x+2）2﹣2． 故选B．
2．从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：在这四个图片中中心对称图形的有第1、2、3幅图片， 因此是中心对称称图形的卡片的概率是， 故选：C
3．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70° 【解答】解：∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°． 故选D．
4．我市药品监察部门为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，某药品原价每盒28元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．28（1﹣2x）=16 B．16（1﹣2x）=28 C．28（1﹣x）2=16 D．16（1﹣x）2=28 【解答】解：第一次降价后的价格为28×（1﹣x），
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为28×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是28×（1﹣x）2=16，故选C．
5．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
【解答】解：设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π， 解得：r=3， 则圆锥的高是：故选A．
6．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（ ）
=4cm．
A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
【解答】解：如图，正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°得到正方形CB′C′D，即旋转后B点的坐标为（4，0）．
故选D．
7．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【解答】解：连结OB，作OP′⊥l于P′如图，OP′=3， ∵PB切⊙O于点B， ∴OB⊥PB， ∴∠PBO=90°， ∴PB=
=
，
当点P运动到点P′的位置时，OP最小时，则PB最小，此时OP=3，
∴PB的最小值为故选B．
=．
8．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题： ①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③函数图象最高点的纵坐标是
；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称． 其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；
（2）c＞0时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； （3）当a＜0时，函数图象最高点的纵坐标是的纵坐标是
；当a＞0时，函数图象最低点
；由于a值不定，故无法判断最高点或最低点；
（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称． 三个正确，故选C．
9．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）
A．（﹣3，7） B．（﹣1，7） C．（﹣4，10） D．（0，10） 【解答】解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8b+10=2﹣4ab， （a+2）2+4（b﹣1）2=0， ∴a+2=0，b﹣1=0， 解得a=﹣2，b=1， ∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4， 2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10， ∴点A的坐标为（﹣4，10）， ∵对称轴为直线x=﹣
=﹣2，
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）． 故选：D．
10．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：根据题意可得： ①F、A重合之前没有重叠面积，
②F、A重叠之后到E与A重叠前，设AE=a，EF被重叠部分的长度为（t﹣a），则重叠部分面积为S=（t﹣a）•（t﹣a）tan∠EFG=（t﹣a）2tan∠EFG，
∴是二次函数图象；
③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变， ④F与B重合之后，重叠部分的面积等于S=S△EFG﹣（t﹣a）2tan∠EFG，符合二次函数图象，直至最后重叠部分的面积为0． 综上所述，只有B选项图形符合． 故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得1•t=，解得t=． 故答案为．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC= 20° ．
．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径， ∴∠PAC=90°．
∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA=PB， ∵∠P=40°，
∴∠PAB=（180°﹣∠P）÷2=（180°﹣40°）÷2=70°， ∴∠BAC=∠PAC﹣∠PAB=90°﹣70°=20°． 故答案是：20°．
13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣6x=8（x﹣6）的两个实数
根，那么这个直角三角形的内切圆半径为 2 ． 【解答】解：解方程x2﹣6x=8（x﹣6）， 可得：x1=6，x2=8， 斜边=
，
，
则此直角三角形的内切圆半径=故答案为：2
14．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 4 ． 【解答】解：由x2+3x+y﹣3=0得 y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4， ∴x+y的最大值为4． 故答案为：4．
15．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是 15或105 度．
【解答】解：如图1中，∠BAC=∠CAO﹣∠BAO=60°﹣45°=15°，
如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°，
故答案为15或105．
三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（8分）解方程： （1）x2﹣4x+1=0
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0． 【解答】解：（1）x2﹣4x+4=3 （x﹣2）2=3 x=2±
（2）（x﹣2）（x+1）=0 x=2或x=﹣1
17．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有2个完全相同的小球，分别标有数字0和﹣2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣2，0和1，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y） （1）写出先Q所有可能的坐标； （2）求点Q在x轴上的概率． 【解答】解：（1）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，它们为（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，﹣2），（﹣2，0），（﹣2，1）；
（2）点Q在x轴上的结果数为2，
所以点Q在x轴上的概率==．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2， 线段BC旋转过程中所扫过得面积S=
=
．
19．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC， ∵∠ABC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为
=
．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点． （1）求证：AB与⊙O的相切； （2）若AB=4，求线段GF的长．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．如图1所示： ∵⊙O与AC相切于点D． ∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠DAO=∠NAO， ∴OM=OD． ∴AB与⊙O相切；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．如图：2所示： 则NG=NF=GF， ∵O是BC的中点， ∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°， ∴OM=OB•sin60°=∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形． ∴ON=BM=1，BN=OM=∵OF=OM=
，
，
．
，BM=OB•cos60°=1．
由勾股定理得：NF=∴GF=2NF=2
．
21．（9分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设y=kx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：解得：
，
，
则y=﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y=150， 则（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 整理得：x2﹣60x+875=0， （x﹣25）（x﹣35）=0， 解得：x1=25，x2=35， ∵20≤x≤28，
∴x=35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得： w=（x﹣20）（﹣2x+80） =﹣2x2+120x﹣1600 =﹣2（x﹣30）2+200， 此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9， ∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1，
y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5， （2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0， ∴x1=﹣1，x2=5，
∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5； 设P（x，﹣x2+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x， ∵AC=4，
∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x， ∴当x=﹣∴即：点P（，
=时，
）时，S四边形APCD最大=
，
（3）方法1、如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H， ∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE， ∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1， 当x=1时，M点纵坐标为8， 当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b， ∵点N在抛物线对称轴x=2上， ∴N（2，10+b）， ∵AE2=OA2+OE2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2，
∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3， 8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）， 当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．
方法2，如图1，
∴E（﹣1，0），A（0，5），
∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∴点N的横坐标为2，即：N'（2，0）
①当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AENM时， ∵E（﹣1，0），点N的横坐标为2，（N'（2，0） ∴点E到点N向右平移2﹣（﹣1）=3个单位， ∵四边形AENM是平行四边形， ∴点A向右也平移3个单位， ∵A（0，5），
∴M点的横坐标为3，即：M'（3，5）， ∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣（3﹣2）2+9=8，
∴M（3，8），即：点A再向上平移（8﹣5=3）个单位， ∴点N'再向上平移3个单位，得到点N（2，3）， 即：当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．
②当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AEMN时，
同①的方法得出，当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）．
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