第三讲 变型鸡兔同笼问题与假设法
【专题知识点概述】1500大约在问题吗？这个问题，是我国古代着名
趣题之一。你以前听说过“鸡兔同笼”年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一 只脚。求笼中各有几只鸡和兔？个头；从下面数，有94个笼子里，从上面数，有35古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决 的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！ 【授课批注】本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想，培养学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样同时体会解题过程性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了 学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。 “鸡兔同笼”问题基本解题公式
1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（ =兔数；每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）- （总脚数 =鸡数。总头数-兔数 鸡数；-每只鸡脚数）= 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数 兔数。-鸡数= 总头数 ）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式（2 兔数；每只兔的脚数）=（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+ =鸡数- 总头数兔数 =鸡数；鸡兔脚数之差）
÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）+ 或（每只兔脚数×总头数 兔数。-总头数鸡数= ）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（3 =每只兔的脚数）兔数； （每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+ 鸡数。兔数总头数-=
鸡每只兔的脚数）=鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数 或（每只兔的脚数×总头数-+ 数； 兔数。=鸡数-总头数
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
【授课批注】 用不同方法（同为鸡，同为兔，砍足，增头，图示法等）解决问题，增强学生知识面和拓展思维。
【重点难点解析】
1. 通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题
2. 对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法
【竞赛考点挖掘】
1. 假设法的应用
2. 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理
【习题精讲】
【例1】（难度等级 ※）
工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个要倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元.问共损坏了几个花瓶？ 【分析与解】
假设250个能够完整运达目的地。将得运费250×20=5000（元），与实际所得相差5000-4400=600（元）。损坏个数600÷（100+20）=5（个）。
【例2】（难度等级 ※※）
松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天？ 【分析与解】．
因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112÷14＝8（天）.假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160（个），比实际采的多了160－112＝48（个），因雨天比晴天少采20－12＝8（个），所以共有雨天48÷8＝6（天）.
【例3】（难度等级 ※※）
四年级四班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，6人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？ 【分析与解】
假设20副均为象棋，共有20×2=40（人）在玩，还有20人没参加活动。跳
棋数20÷（6-2）=5（副），象棋数20-5=15（副）。
【例4】（难度等级 ※※）
实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题目，答对一道得10分，答错一题反扣5分（没有不答的情况）。张华得了70分，他答对了几道题？ 【分析与解】
假设所有问题全部答对，得分10×10=100（分），比实际得分多100-70=30（分），错题数：30÷（10+5）=2（道），正确题数：10-2-8（道）。
【例5】（难度等级 ※※※）
蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？ 【分析与解】
因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。
利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数(118－6×18)÷(8－6)＝5(只)。 因此就知道6条腿的小虫共18－5＝13(只)。 也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。 蝉数 (13×2－20)÷(2－1)＝6(只)。 因此蜻蜓数是13－6＝7(只)。
【例6】（难度等级 ※※※）
一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？ 【分析与解】
我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).
现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是?兔的脚数是?鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了. 根据前面的公式
(5-3) =4.5,
÷7)×=(30-3数兔 鸡数=7-4.5 =2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
【例7】（难度等级 ※※※※）
有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？ 【分析与解】
由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).
还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元).
还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成鸡兔同笼了:
总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.
【例8】（难度等级 ※※※※）
商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买
几个？ 【分析与解】
因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买10个中球,15个小球.
答:买大球30个,中球10个,小球15个.
【例9】（难度等级 ※※※※）
使用甲种农药每千克要兑水20 千克，使用乙种农药每千克要兑水40 千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50 千克，要配药水1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？ 【分析与解】
假设50 千克都是乙种农药，那么需要兑水40×50＝2000(千克)．但题目要求配药水1400
水，又已知)千克650(＝1350－2000．多用了)千克1350(＝50－1400即实际兑水 千克，
使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20＝20(千克)，所以推知，在混合农药中甲种农药有650÷20＝32.5(千克)．
【例10】（难度等级 ※※※）
某工厂的27位师傅带徒弟40名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有几位？ 【分析与解】
2=18(位) ；带两名或三名徒弟的师傅有27-18=9(位×带一名徒弟的师傅的人数是：27)， 3他们共带40-18=22(名)徒弟，如果这9位师傅带两名徒弟，他们只能带18名徒弟，还有22-18=4(名)徒弟没人带，所以应有4位师傅每人带三名徒弟，带两名师傅有5位。
【例11】（难度等级 ※※※）
某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？ 【分析与解】
假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人）
1000/50=20，也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4（人）。 因为多出的是90人，而：90=19*2+4*13.
即：要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。 所以，二等奖有13个人。
【例12】（难度等级 ※※※※）
今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄
的年龄的3倍时,是公元哪一年？ 【分析与解】
4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25是总头数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁).
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.
【例13】（难度等级 ※※※）
有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶 ？ 破损了几只 【分析与解】
如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是
(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).
【例14】（难度等级 ※※※※）
从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米？ 【分析与解】
把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是6÷2=3(小时).
从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米).
又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小时). 行走路程是3×4=12(千米).
下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米). 答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.
【例15】（难度等级 ※※※※）
某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？ 【分析与解】
对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
【作业】
1.东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分.刘刚得了60分,则他做对了几道题？ 【答案】15
米的平14米的山路和每段长9千米，全长由每段长220自行车进行越野赛。赛程全长2.
路两种组成，整个赛程共有20个赛段，求山路共有多少千米？ 【答案】108
3. 摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？
【答案】14, 11.
4. 大、小猴共35只，它们一起云采摘水蜜桃，猴王不在的时候，一只大猴子一小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可采摘11千克，猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都以多采摘12千克，一天，采摘了8小时 ，其中第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘4400千克水蜜桃，在这个猴群中，共有小猴子____只。 【答案】20
5. 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题。 【答案】20
挑战自己 ※※※※※）（难度等级
有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟？ 34【答案】．
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