向量复习

１．平面向量的概念

（1）向量：既有方向，又有大小

（2）表示方法：a，AB（A为始点，B为终点）

（3）模：设ax,y，则ax2y2 （4）相等的向量：模相等，方向相同

设ax1,y1，bx2,y2，若ab，则x1x2且y1y2

（5）负向量：模相等，方向相反，向量a的负向量记为a

（6）零向量：模为零，方向任意，记为0

（7）单位向量：模为1的向量，

an

与非零向量a同方向的单位向量为0a（8）平行向量；方向相同或方向相反的两个向量

a,b为两个非零向量，则a//bakbk0 a,b为两个非零向量，则a//babab ax1,y1，bx2,y2，a//bx1y2x2y1

２．向量的加减法运算

（1）几何运算：平行四边形法则、三角形法则

（2）坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，

则abx1x2,y1y2

３．实数与向量的积

（１）实数k与向量a的积ka，记bka，则

模的关系：bka

方向关系：当k0时，b与a同向；当k0时，b与a反向

（即当k0时，b与a是平行向量，当k0时，0a0）

坐标运算：设ax,y，则kakx,ky

（２）利用实数与向量的积解决两个向量的平行、同向、反向、共线问题

（３）定比分点公式：（P分P1P2的比为）

Px,y2，满足PPPP2（R，1） 设P1x1,y1、221x1x2y1y2则点Px,y的坐标为x，y

114．数量积

（１）定义：ababcos，为向量a、b的夹角，

0，

（２）坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则

abx1x2y1y2

（３）运算性质：abba，k(ab)(ka)ba(kb)，

abcos（４）夹角公式：ab

a(bc)abac

（５）垂直：ab0

22（６）恒等式：aa

（7）a在b方向上的投影：acos，（为两向量的夹角）

辨析：

2aa

22abab

2222abab abcabc abcbac

ab0a0或b0

0a0