小学思维数学讲义：格点型面积-带详解

例题精讲

模块一、正方形格点问题

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．

那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．

L我们能发现如下规律：SN1．这个规律就是毕克定理．

2毕克定理

若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为SNL1． 2

【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？

⑵⑶⑷

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形． 【答案】⑴是格点多边形

【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．

⑴

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．

方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416(面积单位)；

图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315(面积单位)；

图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210(面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315(面积单位)； 图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（35）3212(面积单位)； 图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（36）4218(面积单位)．

1 ⑴⑵⑶⑷⑸⑹如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过

程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！

如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．

如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．

⑶⑷18． 【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹

【例 3】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积．

IIII(b)(c)II(a)【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能

另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424；直角三角形Ⅰ的面积是：6226；直角三角形Ⅱ的面积是：4224；直角三角形Ⅲ面积是4224；所求三角形的面积是24（644）10(面积单位)．

方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210(面积单位)．

【答案】10

【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．

DFA

1cmC1cmEB【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的VAEF；

另外三个分别是：△ABE、△FEC、△DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为1.5cm2，2cm2，1.5cm2．所以，图中阴影部分的面积为：33（1.522）4(cm2)．

【答案】4

【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．

【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积

均为10面积单位．

2 【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格

点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！

在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．

【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．

【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．

【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答

L12【解析】 ⑴ ∵L12；N10，∴SN110115(面积单位)；

22L10⑵ ∵L10；N16，∴SN116120(面积单位)；

22L6⑶ ∵L6；N12，∴SN112114(面积单位)；

22L10⑷ ∵L10；N13，∴SN113117(面积单位)．

22

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．

L我们能发现如下规律：SN1．这个规律就是毕克定理．

2【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17

【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？

（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 图形内部格点数N9；图形边界上的格点数L20 ；根据毕克定理， 则SN积)． 【答案】18

【例 7】 右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．

HGACBEDFL118(单位面2【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH的面积（81021）48（421）21232246(面积单位)． 【答案】46

【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______

3

①②

3 【考点】格点型面积【难度】星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分

111【解析】 ①的面积为：2111313，②的面积也为3223。所以两块阴影部分面积相

222等均为3。

【答案】相等

【例 9】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？

【考点】格点型面积 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．

所以图形的面积为：54192162.5(面积单位)．

【答案】62.5

【巩固】 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

①⑥⑤②③④

3 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答 【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+

为图形周界上格点数．

L-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L27-1)×1=6.5(平方厘米) 2方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积， 有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．

【答案】6.5平方厘米

【例 10】 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积

是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+

【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】保良局亚洲区城市小学数学竞赛 【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都

4

可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．

7所占的面积为：215218.5；2所占的面积为：242111；1所占的面积为：17217.5．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527．

【答案】27

【例 11】 55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，

要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是 平方厘米．

【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成

面积最大．最大面积为550.5323.5(平方厘米)．

【答案】23.5平方厘米

【例 12】 两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，

若左上角的阴影部分(块状)面积为5.12cm2，右下角的阴影部分(线状)面积为7.4cm2，求大正方形

的面积．

【考点】格点型面积 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】从小爱数学 【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个

19方格的面积是 （7.45.12）（1714）（cm2）25大正方形的面积为19cm2．

【答案】19平方厘米

2【例 13】 将边长为正整数n的正方形平均分成n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。例如：图A

中的格点是边长为2的正方形的格点。图B中，在边长为12的正方形中有四个完全相同的直角三角形。如果三角形的一条直角边是3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？(每个格点只计一次)

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试，第19题，10分 【解析】 如下图是一个三角形的示意图，共经过了33个格点

5 （A）（B）

【答案】33个格点

模块二、三角形格点问题

1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．

2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有S2NL2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．

【例 14】 如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形

ABC的面积．

ACBBAEFD(b)CBAⅡ'Ⅰ'ⅠⅢⅡⅢ'

AECRBHFD(d)GC

2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】 方法一：如图(b)所示，在VABC内连接相邻的三个点成VDEF，再连接DC、EA、FB后是VABC

可看成是由VDEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到SVACD2， SVAEB3，SVFBC4，所以SV123410(面积单位)．

方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数

小正三角形的方法，求出VABC的面积为10．

方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而VABE的面积是

平行四边形ARBE面积的一半，即SVAEB3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而VADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即SVACD2．平行四边形FBGC中有8

个小正三角形，而VFBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：SVFBC4．所以SV123410(面积单位)．

(a)(c)【答案】10

【巩固】 如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积．

ACB【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为N5；L3：所以S2NL2253211(面积单位)． 【答案】11

【例 15】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．

6 2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】 ⑴ ∵L7；N7，∴S2NL2277219(面积单位)；

⑵ ∵L5；N8，∴S2NL2285219(面积单位)； ⑶ ∵L6；N7，∴S2NL2276218(面积单位)； ⑷ ∵L7；N8，∴S2NL2287221(面积单位)．

【答案】（1）19；（2）19；（）

【例 16】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线

所围成的三角形的面积．

（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有1357911131564(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642，

图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；

图形的面积为：2124226(面积单位)，进而得图形的面积为：26252．

【答案】52

【例 17】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

C①②A④③BC

DBAD①

2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点

数，L为图形周界上格点数．

有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．

法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．

【答案】20平方厘米

【例 18】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____

平方厘米．

7 【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 SABCSABDSBCDSACD2122122966(平方厘米) 【答案】66平方厘米

模块三、构造格点进行解题

【例 19】 图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．

APFAPF

BQCDEBQCDE【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，

△PEF面积3，△CDE面积9，四边形ABQP面积11．上述三块面积之和为391123．因此，阴影四边形CEPQ面积为542331．

【答案】31

【例 20】 正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角

形MNP的面积是多少平方厘米？

AMBFPEBRCNDCNDSMAQFPE

【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个

小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积0.2592.25(平方厘米)．

【答案】2.25

【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？

MNOP

2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三

8 角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．

【答案】48平方厘米

【例 22】 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个

六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?

2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形

组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以

127每块为，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为．

12040

方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积为“1”，则B、

11C两种正三角形的面积依次为“”、“”．在图中：

981CBA1140A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×+12×=．所

981272727以有“1”对应，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为.

404027【答案】

40

9