计算机浮点运算的尾数处理

总第５９期　湖南广播电视大学学报　２０１４年第３期　Ｓｕｍ　ＮＯ．５９　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＨｕｎａｎ　Ｒａｄｉｏ＆Ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎｏ．３．２０１４　计算机浮点运算的尾数处理　柴晓东　（黄河科技学院国际学院，河南郑州４５００６３）　内容摘要：浮点数在本质上仍然是以定点数表现出来的，通过浮点数中的指数使数据的表示范围得到扩展。浮点运算的尾数　处理包括规格化、舍入处理和溢出处理。规格化就是使尾数部分最高有效位是１。舍入处理就是按照一定的规则确定一致的位数，　然后舍去某些数字后面多余的尾数。溢出就是计算结果大于寄存器或内存所能储存或表示的能力。　关键词：浮点数；规格４Ｌ；尾数　中图分类号：ＴＰ３０６．２文献标识码：Ａ文章编号：１００９—５１５２（２０１４）０３—００７９—０３　一、计算机浮点运算　化处理、舍入处理以及溢出处理，都属于尾数处理部　计算机中的浮点数是小数点的位置不固定，可以　分。　浮动的数据。浮点数的引入，不仅扩大了数据的表示　二、规格化处理　范围，同时也提高数据的分辨精度。浮点数的表示方　浮点数进行运算后，若不对浮点数的表示做出　法类似于十进制科学标识法，就是用符号、一串有效　明确规定，同一个浮点数的表示就不是惟一的［２】。为　数字（通常称作尾数）以及对应于比例因子中隐含基　了充分利用尾数的位数来表示更多的有效数字，以　数的指数来表示一个数　浮点数可表示为：Ｎ＝２Ｅ・Ｍ。　提高数据的分辨精度，通常采用浮点数规格化形式。　其中Ｅ是阶码，常用移码表示，它决定了浮点数的表　规格化就是将尾数的绝对值限定在某个范围内，使　示范围。Ｍ是尾数，是定点纯小数，它给出了有效数　尾数部分的绝对值尽可能以最大值的形式出现。规　字的位数，决定了浮点数的分辨精度。　格化浮点数的尾数应满足条件：０．５≤Ｉ　Ｍ　ｌ＜１。　计算机中浮点数的加减运算步骤主要有：对阶、　（一）原码、补码的规格化　尾数运算、规格化处理、舍入处理以及溢出处理。对　浮点数规格化的表示形式与尾数采用何种编码　阶就是通过移动尾数，使要进行加减运算的两个浮　有关。　点数的阶码相等。尾数运算就是将对阶后的浮点数　当尾数用原码表示时，若０≤Ｍ，尾数规格化形　尾数，按照运算规则，进行求和运算。规格化处理就　式为：Ｍ＝０．１ＸＸ…ＸＸ。若０＞Ｍ，尾数规格化形式为：　是将运算结果通过一定的方法，变换成统一的标准　Ｍ：１．１ＸＸ…ＸＸ。其中ｘ为０或１，以下相同。即当尾　格式。舍入处理就是根据运算要求，对运算结果中，　数为正数时，其规格化形式要求，尾数小数点后第一　多出保留位的数值进行丢弃或进位处理。溢出处理　位的值为１；当尾数为负数时，尾数小数点后第一位　就是对运算结果中，可能产生的阶码溢出，或尾数溢　的值为１。　出进行相应的处理。在以上运算步骤中，尾数的规格　当尾数用补码表示时，若０≤Ｍ，尾数规格化形　收稿日期：２Ｏ１４—０５—２０　作者简介：柴晓东（１９８０一），男，黄河科技学院教师。　——７９——　式为：Ｍ＝０．１ＸＸ…ＸＸ。若０＞Ｍ，尾数规格化形式为：　同。根据原码的规格化方法，尾数小数点后第一位的　Ｍ＝１．０ＸＸ…ＸＸ。即当尾数为正数时，其规格化形式　值为１，规格化后，尾数Ｍ的最高位应该是１。对于　要求，尾数小数点后第一位的值为１；当尾数为负数　３２位浮点数，尾数Ｍ的范围是０　２２位，规格化后，　时，尾数小数点后第一位的值为０。　尾数Ｍ最高位应该为Ｉ，即第２２位应该为１。对于　综上所述，浮点数的规格化，其实质就是为了保　６４位浮点数，尾数Ｍ的范围是０　５１位，规格化后，　证尾数所对应的真值小数点后第一位的值为１。当浮　第５１位应该是ｌ。因浮点数规格化后，尾数Ｍ最高　点加减运算的结果不是规格化的形式时，需要进行　有效位固定为Ｉ，即尾数Ｍ最左位固定为１，ＩＥＥＥ７５４　左规或者右规将它转化为规格化形式。双符号数补　标准将这个１缺省存储，即不存储，而隐藏在二进制　码规格化形式为：Ｍ＝００．ｉＸＸ…ＸＸ或Ｍ＝１１．ＯＸＸ…　小数点的左边。这样Ｍ域中存储的２３位和５２位实　ＸＸ。规格化方法是：　际上只表示了尾数的小数部分，即小数点右方的各　１．若加减运算结果的两个符号位不同，如０１．　位。　ＸＸＸ…ＸＸ或１０．ＸＸＸ…ＸＸ，表明运算结果发生了溢　图２所示为ＩＥＥＥ７５４标准３２位浮点数的规格　出，此时需将尾数右移１位（小数点左移１位），阶码　化。其中（ａ）图表示是一个非规格化数＋０．０００１　１０１…　加１，即进行右规。例如，若加减运算结果是　×２　的ＩＥＥＥ７５４标准格式，其中阶码用移码表示。阶　０１．１１０１１１，阶码为１０，规格化需要右规１位，阶码加　码原始是９，变为移码后为７＋１２７，二进制为　１，规格化后的形式为Ｏ０．１ｌ１０１１１，阶码变为１１；若加　１００００１　１０。尾数域的数据为０．０００１　１０１…。将尾数　减运算结果是１Ｏ．１１０１１１，阶码为ｌ０，规格化需要右　０．０００１１０１…规格化，按照原码规格化方法，左规３　规１位，阶码加１，规格化后的形式为１１．０１１０１１１，阶　位，规格化后变为０．１１０１…，阶码减３，变为４。由于　码变为１ｌ。　ＩＥＥＥ７５４标准规定，尾数域最高位隐藏不存储，即小　２．若加减运算结果的两个符号位相同，但最高　数点左边应该为１，则需要对规格化后的值再次进行　数值位与符号位相同，如Ｏ０．ＯＸＸ…ＸＸ或１　１．１ＸＸ…　变换，Ｉ￣Ｐ４－，数点向右再次移动１位，变为１．１０１…，阶　ＸＸ，此时需将尾数左移（小数点右移），直至转化为　码再减１，变为３。阶码用移码表示为３＋１２７，二进制　００．１ＸＸ…ＸＸ或１　１．０ＸＸ…ＸＸ的形式，阶码减去尾数　表示形式为１０００００１０。尾数域数据为１０１…。ｆｂ）图表　左移的位数，即进行左规。例如，若加减运算结果是　示的即为规格化后的ＩＥＥＥ７５４标准格式。其中最高　Ｏ０．０１０１１１，阶码为ｌ１，则规格化需要左规１位，阶码　位０是符号位，表示“＋”。　减１，规格化后的形式为Ｏ０．１０１ｌ１０，阶码变为１０；若　事实上，ＩＥＥＥ７５４标准浮点数规格化后，尾数域　加减运算结果是１１．１１０１ｌ１，阶码为１１，则规格化需　的数据只是小数点后的数据，实际上尾数表示范围比　要左规２位，阶码减２，规格后的化形式为　实际存储的多一位，这一位就是小数点前的一位１。　１１．Ｏ１１１００，阶码变为０１。　移码格式的指数　～一　～＿、　（二）ＩＥＥＥ７５４标准浮点数的规格化　ｌ！ｉ　！竺！　！｝　　：　Ｊ为了便于软件的移植，浮点数的表示形式应该　（尾数小数点左垃没有隐灏１）　有统一的标准。ＩＥＥＥ（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ａｎｄ　表示的值为＋ｏ　０００１１０ｌ…×２　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ）提出了ＩＥＥＥ７５４标准。ＩＥＥＥ７５４　（ａ）朱规格化值　标准规定基数为２，符号ｓ用０或１表示，阶码Ｅ用　移码表示，尾数Ｍ用原码表示。如图１所示为　表示的值为＋ｌ１０１…Ｘ２　ｆｂ）规格化值　ＩＥＥＥ７５４标准３２位浮点数和６４位浮点数的格式。　图２　ＩＥＥＥ７５４标准３２位浮点数规格化　三、舍入处理　在浮点运算中，在执行右规或对阶时，尾数低位　上的数值会因为超出机器的允许位数而被移掉，从　而使数值的精度受到影响。为了减小数据的误差，需　要对移掉的数据进行舍人处理。计算机中常用的舍　图１　ＩＥＥＥ７５４浮点数格式　入方法有两种：四舍五入法和截断处理法。　对于ＩＥＥＥ７５４标准的浮点数，由于其尾数Ｍ用　（一）四舍五入法　原码表示，因此，其规格化方法与原码规格化方法相　四舍五入法类似于十进制的四舍五人，即尾数　一８０一　超出规定的保留位的多余位数值，若大于规定的保　则保持不变。例如，若要进行舍人处理的数据为　留位的最低有效位值的一半时，则需要进位，即在尾　０．１１０１１００１，要求保留位为４位。则进行舍人处理的　数保留位的最低有效位上加１。若超出规定的保留位　多余数据为１００１，直接将多余位１００１舍去即可。舍　的多余位数的值，小于规定的保留位的最低有效位　人处理结果为０．１　１０１。截断处理方法操作简单，但误　值的一半时，则直接舍去。例如，若要进行舍人处理　差相对较大，影响结果的精度。　的数据为０．１　１０１　１００１，要求保留位为４位。则进行舍　四、溢出处理　入处理的多余数据为１００１，由于１００１大于１０００，因　在浮点运算过程中，需要检测计算结果是否发　此需要向高位进位。将０．１１０１的末位直接加１，即　生溢出。如果溢出，需要进行溢出处理。溢出有两种，　０．１１０１＋０．０００１＝０．１１１０，舍人处理结果为０．１１１０；若要　一种是阶码溢出，另一种是尾数溢出。　进行舍人处理的数据为０．１１０１０００１，要求保留位为４　阶码的溢出有两种情况，一种是两个同符号数　位。则进行舍人处理的多余数据为０００１，由于０００１　据相加，由于一个数据的绝对值很大，已经使正阶码　小于１０００，因此需要舍去。直接将０００１舍去，保持其　达到最大值，两数相加规格化后，阶码需要增加，这　它数值不变，舍入处理结果为０．１　１０１。　时发生阶码上溢。另一种是两个不同符号数据相加，　对于多余位刚好等于有效位值的一半时，分两　由于两个数据的绝对值很小，两数相加规格化后，阶　种情况处理：当规定的保留位的最低有效位为０时，　码需要减少，这时发生阶码下溢［３１。　则直接舍去；若规定的保留位的最低有效位为１时，　尾数的溢出也有两种情况，一种是两个同符号　则向高位进一位使其变为０。例如，若要进行舍入处　数据相加，出现相加结果最高位向上进位，需要将尾　理的数据为０．１　１００１０００，要求保留位为４位。保留位　数右移，阶码加１。即对计算结果进行右规格化处理。　的最低有效位为０，则直接舍去多余位１０００。舍入处　另一种是两个数据运算后，数据长度超出了要求的　理结果为０．１１００。若要进行舍人处理的数据为　数据长度，这时需要对计算结果进行舍入处理。由于　０．１１０１１０００，要求保留位为４位。保留位的最低有效　浮点数的表示范围很广，在实际应用中，阶码的溢出　位为１，则向保留位的最低位加１，即０．１１０１＋０．０００１　很少出现，但尾数的溢出出现较多。　＝０．１１１０，舍人处理结果为０．１１１０。　四舍五入法的舍入结果最接近于被舍人处理的　参考文献：　数据，而且是无偏近似。但该方法要求一次加法运　【１］Ｃａｒｌ　Ｈａｍａｃｈｅｒ等．计算机组成【Ｍ］．北京：机械工业出版社，　算，有可能需要对舍入结果再次进行规格化。这种舍　２００４．　入方式是ＩＥＥＥ浮点标准舍入处理的默认模式。　【２】白中英．计算机组成原理（第四版）【Ｍ］．北京：科学出版社，　２００８．　（二）截断处理法　截断处理法是一种简单的方法，直接将超出规　【３］罗克露，刘辉等．计算机组成原理（第二版）【Ｍ］．北京：电子工　业出版社，２０１０．　定的保留位的多余位舍去，而剩余的规定的保留位　Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｍａｎｔｉｓｓａ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｆｌｏａｔｉｎｇ　Ｐｏｉｎｔ　Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ　ＣＨＡＩ　Ｘｉａｏ．ｄｏｎｇ　Ａｂｓｌｒ￣－ｔ：Ｔｈｅ　ｉｄｅａ　ｏｆ　ｆｌｏａｔｉｎｇ－ｐｏｉｎｔ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｖｅｒ　ｉｎｔｒｉｎｓｉｃａｌｌｙ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ　ｎｕｍｂｅｒｓ，ｗｈｉｃｈ　ｃｏｎｓｉｓｔｓ　ｐｕｒｅｌｙ　ｏｆ　ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｄ，ｉｓ　ｔｈａｔ　ｅｘｐａｎｄｉｎｇ　ｉｔ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｅｘｐｏｎｅｎｔ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｃｈｉｅｖｅｓ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｒａｎｇｅ．Ｔｈｅ　ｍａｎｔｉｓｓａ　ｈａｎｄｌｎｉｇ　ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ，　ｒｏｕｎｄｉｎｇ　ｒｕｌｅｓ　ａｎｄ　ｏｖｅｒｆｌｏｗ　ｈａｎｄｌｉｎｇ．Ｔｈｅ　ｆｌｏａｔｉｎｇ　ｐｏｉｎｔ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ　ｂｉｔ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ａ　ｏｎｅ．Ｒｏｕｎｄｉｎｇ　ｈａｎｄｌｉｎｇ　ａｉｍｓ　ｔｏ　ｔｕｒｎ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｖａｌｕｅ　ｉｎｔｏ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｖａｌｕｅ　ｗｉｔｔ：ａ　ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ　ｄｉｇｉｔｓ．Ｏｖｅｒｌｆｏｗ　ｉｓ　ｔｈａｔ　ｏｃｃｕｒｓ　ｗｈｅｎ　ａ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｐｒｏｄｕｃｅｓ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ　ｈｔａｔ　ｉｓ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｗｈａｔ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｒｅｇｉｓｔｅｒ　Ｃａｎ　ｓｔｏｒｅ　ｏｒ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ．　Ｋ盯ｗｌ砌ｓ：ｆｌｏａｔｉｎｇ　ｐｏｉｎｔ；ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ；ｍａｎｔｉｓｓａ　一８１—