论微积分在经济分析中的应用

●　解题技巧与方法　姆　・　●　・　在经　应羼　◎吴元芬　（广东茂名职业技术学院５２５０００）　【摘要】随着经济学研究的不断深入，经济量化分析巳成　，Ｊ（　）＝Ｒ（　）一Ｃ（　）＝２０ｘ一（　一１０ｘ＋２０）＝一　＋　为经济学研究的主要手段，这与数学在经济中的广泛应用密　３０ｘ一２０．　不可分．“教书育人，学以致用”，如何把课本的知识传授给学　于是，边际利润函数为　生，并让学生在工作实践中发挥效用，这是高职教育工作者　，Ｊ　（　）＝（一　＋３０ｘ一２０）　＝一２ｘ＋３０．　的教学使命．笔者在长期的教学生涯中，经与众多已毕业走　则每月生产８件、１Ｏ件、１５件、２Ｏ件时的边际利润分别是　向社会的学生接触了解，他们反馈的信息，普遍觉得要学好　，　｜（８）＝一２×８＋３０＝１４（千元／件），　课本知识不难，但要运用好理论知识去解决实际问题却不　（１０）＝一２　Ｘ　１０＋３０＝１０（千元／件），　易．曾经有部分已参加工作的学生和社会经济工作者，就工　Ｌ　（１５）＝一２×１５＋３０＝０（干元／件），　作中遇到的一些需要经过数理化解决的问题请教笔者．　，Ｊ　（２０）＝一２×２Ｏ＋３０＝一１０（千元／件）．　【关键词】微积分；经济分析；应用　其经济意义为：当月产量为８件时，再增长１件，利润　将增加１４０００元；当月产量为１Ｏ件时，再增产１件，利润将　应用定量分析解决经济与管理领域内的问题，结合社会　增加１００００元；当月产量为ｌ５件时，再增产１件，利润则不　经济管理的实际情况，已成为经济学整个理论体系的一个组　会增加；而当月产量为２０件时，再增产１件，利润反而减少　成部分，掌握和运用有关的数量分析理论与方法，也就愈来　１００００元．　愈显重要．为此，本着教育促发展的需要，笔者从众多涉及的　２．最大最小化问题　数理化解决的经济管理问题中，列举有关用导数和在微分方　在经济工作中，为提高效益，许多问题的解决涉及求最　程经济分析中的应用，介绍导数概念在经济分析中三个方面　大值和最小值问题．例如怎样使投入量最少，产出最多，成　的应用——边际分析、弹性分析及经济最优化分析，以促进　本最低，利润最大等问题．这一节将从实际出发解决经济活　教学工作从课堂走向社会，起到了抛砖引玉的作用．　动中的最值问题．利润是衡量企业经济效益的一个主要指　一、导数在经济分析中的应用　标．在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利　在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际成本、　润，这是企业管理中的一个现实问题．　边际收入、边际利润、边际需求、边际供给等．从数学角度　例２　某厂生产某种产品，其固定成本为３万元，每生　看，经济学中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率　产一百件产品，成本增加２万元，其收入Ｒ（单位：万元）是　（或变化速度）问题．即把一个经济函数＿厂（　）的导数＿厂（　）称　１　为该函数的边际函数，边际函数在某点的值称为边际值．总　产量ｑ（单位：百件）的函数：Ｒ＝５ｑ一÷ｑ　，求达到最大利润　二　成本函数的导数称为边际成本，需求函数的导数称为边际　时的产量．　需求，等等．对某个经济问题的边际情况进行分析和研究，　解由题意，成本函数为Ｃ＝３＋２ｑ．　则是为了能够科学地指导经济活动．应当指出，经济函数中　１　．　的自变量的取值一般是不连续的（即离散的）量．例如，产量　于是，利润函数Ｌ…Ｒ　Ｃ　一３＋３ｑ一÷ｑ　，　二　单位一般为件、台……不会出现０．６件毛衣，０．５台冰箱等，　Ｌ　＝３一ｑ，令Ｌ　＝０，得ｑ＝３（百件）．　劳动力单位一般为人，不会出现０．３人．在应用导数这个Ｔ　因为Ｌ　（３）＝一１＜０，所以当ｑ＝３时，函数取得极大　具去分析认识问题时，必须将“离散”的量看作“连续”的量　值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点．　（可导必连续），但是在对求导的结果进行经济解释时，又须　即产量为３００件时取得最大利润．　将“连续”的量作为“离散”的量来看待，而且它们的最小变　３．弹性在经济分析中的应用　化是一个单位．　弹性分析是一种简单易行的定量分析方法．它在经济　１．边际问题　研究、经济计划丁作中有着广泛的应用，如用于经济预测、　在经济学中，把某些经济函数对自变量的变化率叫做　经济分析、经济决策、政策研究等．学习和掌握弹性分析方　边际变化．一般来说如果两个经济量Ｙ和　问存在函数关系　法，并能加以灵活运用，对于各级计划人员都是非常重要和　Ｙ＝＿厂（　），且Ｙ对　的导数Ｙ　＝－厂（　）存在，那么这个经济量Ｙ　有益的．弹性亦称弹性系数，弹性是一个相对量，它衡量某　对　的边际变化可以通过Ｙ对　的导数而得到．　一变量的改变所引起另一变量的相对变化．弹性总是针对　例１　某企业生产某种产品，每月的总成本Ｃ（千元）是　两个变量而言的．例如，需求的价格弹性所考察的两个变量　产量　（件）的函数，如果每件产品的销售价格为２万元，求　是某一特定商品的价格和需求量．而能源弹性则可能是考　每月生产８件、１０件、１５件、２Ｏ件时的边际利润，并说明其　察１二农业总产值和能源消费量之间的关系．弹性的另一个　经济意义．　重要特点是，它是一个与被衡量对象的计量单位无关的数，　解依题意，每月生产　件产品的总收人函数为　即是一个无量纲的数．正因为如此，弹性分析可以单独作为　Ｒ（　）＝２０ｘ．　一种定量分析方法而存在，并常被用作研究和分析某一问　此，生产　件产品的利润函数为　题时的独立衡量标准，或，Ｌ｝Ｊ于比较分析．　毁学学习与研究２０１０。１５　●　解题技巧与方法　．　鼢　，，．　●　经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹　性．我们已经知道，需求弹性指的是由于价格的变化而给商　品的需求量造成的影响程度．影响商品需求的因素很多，有　两边同时积分ｌｎＱ＝一ｋｉｎ／）＋ｌｎＣ，因此Ｑ＝Ｑ（Ｐ）＝ｃｅ　．　这就是所求的需求函数．　三、结　语　的商品价格一有变化，其需求员就会发生很大影响；而有的　商品则完全不一样，当价格发生变化时，对需求量的影响很　小．按照需求的一般规律：价格下降，则商品需求量增加；价　当前的职业教育与社会经济的关系越来越紧密，教育　服务于社会、服务于经济的任务越来越迫切．对于正在接受　教育的学生来说，高职数学教育工作者要正面引导学生认　格上升．则商品需求量减少．由于具体商品本身属性的不同　以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求　知数学与绎济的密切关系，并结合具体事例教会学生掌握　诸如需求函数、供给函数、总收益函数、消费函数、生产函　数、成本函数、投资函数等等的实际应用，既能增强学生的　带来的影响是不同的．有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降　价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，　价格变化对其没什么影响．　在经济学中某个变量对另一个变量变化的反映程度称　为弹性或弹性系数．在实际工作中有多种多样的弹性，这决　定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映　之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性．　二、微分方程在经济分析中的应用　学习兴趣，又能提高学生的实操能力．在当今国内外，越来　越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准　确化．　高职数学教育工作者，要提高服务社会的能力，适当参　与开展讲学活动，积极引导他们认识到，在经济环节进行定　量分析是非常必要的，教会他们将数学作为分析工具，以便　为企业经营者提供精确的数据，提供企业经营者新的视角，　微分方程在经济数量分析、特别在动态经济模型中十　分有用，列举经济中的实例，着重讨论其经济数量关系．　例３　设某商品的需求价格弹性　＝一ｋ（　为常数），　试求该商品的需求函数Ｑ＝Ｑ（Ｐ）．　解方程　ｄＱ一为企业决策和经营运作提供辅助作用．　【参考文献】　［１］孙昌龙．微积分在经济中的一些简单应用［Ｊ］．考试　周刊，２００７，９．　根据需求价格弹性的定义　＝　‘　，可得微分　［２］谭瑞林，刘月芬．微积分在经济分析中的应用浅析　［Ｊ］．商场现代化，２００８，４．　．　：一　．　［３］孙少葆．微积分思想和方法在最优问题中的应用研　究［Ｊ］．武汉科技学院学报，２００８，】１．　［４］邹永红．浅谈高等数学中微积分的经济应用［Ｊ］．法　制与经济（下旬刊），２００９，１．　ｄＰ　Ｑ　…　这显然是一阶可分离变量微分方程，将变量分离为　ｄＱＫ　ｄＰ…．　（上接５４页）　其一般形式为：　目标函数：Ｍａｘ（Ｍｉｎ）；＝Ｃｌ戈ｌ＋Ｃ２　２＋…＋ＣｎＸ　．　ｒａｌ１　】＋ａ１２　２＋…＋ａｌ　≤（≥）ｂ１，　所以，种百合１２００株，玫瑰１０００株时，小王获利最大　｝ａ２１　１＋ａ２２　２＋…＋ａ２　≤（≥）ｂ２，　Ｌ、≤　一　Ｏ０　Ａ　＝ｌ４００　ｖ＝１２００　‘满足约束条件：Ｊ…　ｌ　ａ　１　１＋ａ　２　２＋…＋ａ　Ｌ　Ｉ’　２，…，　≥０．　≤（≥）ｂ　，　例３　酒店管理系插花班需要两种花卉——百合、玫　＼　：１２００，１ｖ－＝ｏｏ８ｏ０）０　０　＼　、　　．瑰，校园花匠小王在９０　ｍ。的温室中培育它们．百合每株苗　价为２．５元，玫瑰为２元，小王有资金５０００元．插花班对百　合收购价为４元，玫瑰为３元，一学期插花班需要百合１１００　～ｏ５　＋０．ｏ　上述这些例子，体现了数学的实用性和时代性，能够提　高学生分析问题和解决问题的能力，培养职业院校学生关　注社会、联系实际、应用数学的意识，让他们深切地感受到　“数学来自于生活，又必须回归于生活”，有助于提高职业院　校学生对数学学习的重视．　１４００株，玫瑰８００～１２００株．由于百合与玫瑰生长所需采　光条件的不同，每株百合大约占地０．０５　１＂１１　，玫瑰大约占地　０．０３　ＩＴＩ　，如何配置小王获利最大？　解，设种百合　株，玫瑰Ｙ株小王获利最大，则有　２．５ｘ＋２，，≤５０００，　Ｊ　０＿ｏ５ｘ＋Ｏ．０３ｙ￣９０，　１　１１００≤　≤１４００，　【８００≤，，≤１２００．　【参考文献】　［１］纪晓福．运筹学．天津：天津人民出版社，２０００（２）．　目标函数（即获利）　：（４—２．５）　＋（３—２）ｙ＝１．５　Ｙ．　图像法求解问题：通过作图可知，当直线　过　点时．　即　＝１２００，Ｙ＝１０００时，ｚ取得最大值ｚ…＝１．５　Ｘ　１２００＋　１０００＝２８００（元）．　［２］苟玉德，张军．线性规划思想解题例说．数学教学，　２００５（１０）．　［３］王尚志，孔启平．培养学生的应用意识是数学课程　的重要目标．数学教育学报，２００２（２）．　数学学习与研究２０１０．１５