2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）不等式＞1的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞） 2．（5分）a＞b的一个充分不必要条件是（ ） A．a=1，b=0
B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3
，则sinB=（ ）
3．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=A．
B． C．
D．
4．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（ ） A．16 B．32 C．64 D．128
5．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（ ） A．
akm B．2akm
C．
akm D．
akm
=3
，
=3
，则BE与DF所成
6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足角的正弦值为（ ） A．
B．
C．
D．
7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（ ） A．1008
B．1009
C．2016
D．2017
•
=（ ）
8．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 9．（5分）设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ） A．
B． C． D．
10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则A． B．﹣ C． D．﹣
•的最大值为（ ）
11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（ ） A．16 B．24 C．32 D．40
12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（ ） A．一个点 B．椭圆
C．双曲线 D．以上选项都有可能
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）命题“∃x∈[﹣14．（5分）若x，y满足15．（5分）已知F为双曲线C：
，
]，tanx≤m”的否定为 ． ，则z=x+2y的取值范围为 ． ﹣
=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF
周长最小时，点F到直线AP的距离为 ．
16．（5分）若数列{an}满足an+1+（﹣1）n•an=2n﹣1，则{an}的前40项和为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1． （1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集； （2）若不等式f（x）+1＞0的解集为
，求m的值．
，a=6，△ABC
18．（12分）在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣的面积为24．
（1）求角A的正弦值； （2）求边b，c．
19．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧
棱AA1=2
（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；
（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．
22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程及其离心率；
（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为值．
=动点M
，求△AOB面积的最大
2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）不等式＞1的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞） 【解答】解：不等式可化为x（x﹣1）＜0， ∴0＜x＜1，
∴不等式＞1的解集为（0，1）， 故选B．
2．（5分）a＞b的一个充分不必要条件是（ ） A．a=1，b=0
B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3
【解答】解：A．当a=1，b=0时，满足a＞b，反之不成立，则a=1，b=0是a＞b的一个充分不必要条件．
B．当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立， C．当a=﹣2，b=1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立， D．由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件， 故选：A
3．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=A．
B． C．
D．
，
，则sinB=（ ）
【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA=∴sinA=由正弦定理得，
=，
，
则sinB=故选D．
==，
4．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（ ） A．16 B．32 C．64 D．128
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40， ∴
∴a6=2×25=64． 故选：C．
5．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（ ） A．
akm B．2akm
C．
akm D．
akm
，解得a=2，q=2，
【解答】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=akm，BC=2akm， ∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=
akm，
akm，
，
即灯塔A与灯塔B的距离为故选：D．
6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足角的正弦值为（ ）
=3
，
=3
，则BE与DF所成
A． B． C． D．
【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4， ∵点E，F满足
=3
，
=3
，
∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4）， =（0，﹣1，4），
=（0，1，4），
设异面直线BE与DF所成角为θ， 则cosθ=sinθ=
=
=，
． =
．
∴BE与DF所成角的正弦值为故选：A．
7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（ ） A．1008
B．1009
C．2016
D．2017
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1009=1， ∴S2017=故选：D．
8．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1）， 由
，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
•
=（ ）
（a1+a2017）=2017a1009=2017．
x1+x2=则
•
，x1+x2=1，y1•y2=k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+1]' =x1•x2+y1•y2=x1•x2+k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=﹣3．
故选：C．
9．（5分）设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ） A．
B． C． D．
【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|=
x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=
x，
=
．
∴C的离心率为：e=故选D．
10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则A． B．﹣ C． D．﹣ 【解答】解：∵
，∴
•的最大值为（ ）
⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB
≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤ ∴
•
=AC•ABcos120°≤，则
•
的最大值为
，
故选：A．
11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（ ） A．16 B．24 C．32 D．40
【解答】解：正实数a，b满足+=1， ∴1≥2b+2a=ab．
，解得ab≥8，当且仅当b=2a=4时取等号．
∴（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8≥32． 故选：C．
12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（ ） A．一个点 B．椭圆
C．双曲线 D．以上选项都有可能
【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点 线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q， 则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R， 即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线 故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）命题“∃x∈[﹣【解答】解：命题“∃x∈[﹣故答案为：∀x∈[﹣
14．（5分）若x，y满足【解答】解：x，y满足z=x+2y化为：y=﹣
+
，则z=x+2y的取值范围为 [0，] ． ，不是的可行域如图：
，当y=﹣
+
经过可行域的O时
，
，，
]，tanx≤m”的否定为 ∀x∈[﹣，]，tanx＞m ． ，
]，tanx＞m”，
]，tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣
]，tanx＞m
目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值， 由
，可得A（，），
则z=x+2y的最小值为：0；最大值为：则z=x+2y的取值范围为：[0，]． 故答案为：[0，]．
=．
15．（5分）已知F为双曲线C：
﹣
=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF ．
周长最小时，点F到直线AP的距离为
【解答】解：设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF周长最小，直线AP的方程为y=
（x﹣4），即4x+3y﹣16=0，
=
，
∴点F到直线AP的距离为故答案为：
16．（5分）若数列{an}满足an+1+（﹣1）n•an=2n﹣1，则{an}的前40项和为 820 ． 【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）n an=2n﹣1， 故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {an}的前40项和为 10×2+（10×8+故答案为：820
×16）=820，
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1． （1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集； （2）若不等式f（x）+1＞0的解集为【解答】（本题12分） 解：（1）当m=1时，
不等式f（x）＞0为：2x2﹣x＞0⇒x（2x﹣1）＞0⇒x＞，x＜0； 因此所求解集为
； …（6分）
，求m的值．
（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0 ∵不等式f（x）+1＞0的解集为所以
，
是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的两根
因此
⇒． …（12分）
18．（12分）在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣的面积为24．
（1）求角A的正弦值； （2）求边b，c．
【解答】解：（1）由在△ABC中，a2﹣c2=b2﹣则sinA=
=；
①，整理得cosA=
，a=6，△ABC
=，
（2）∵S=bcsinA=24，sinA=， ∴bc=80，
将a=6，bc=80代入①得：b2+c2=164，
与bc=80联立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．
19．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得： 结合an＞0得an+1﹣an=1 …..（4分） 令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n…..（6分） （2）因为bn=所以Tn=+…Tn=
+…+
++=
（n≥2） ①
②…..（8分） +…+
﹣
=﹣
，
①﹣②得Tn=1+
所以数列{bn}的前n项和Tn=3﹣
．…..（12分）
20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 【解答】解：当P真时，f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R， 有△=4﹣4a＜0， 解得a＞1．…..（2分）
当q真时，即使g（x）=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1，3]上恒成立， 则有a＜
在x∈[1，3]上恒成立，
=
≥，
而当x∈[1，3]时，
故a＜．…..（5分）
又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..（6分） 当p真q假时，a＞1．…..（8分） 当p假q真时，a＜…..（10分）
所以实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）…..（12分）
21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧
棱AA1=2
（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；
（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，
∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..（2分） D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，
，
=（0，1，
），，
，1），…..（4分） ），C（0，1，0），
=（0，1，0），
设平面ADB1的法向量为则
，取z=1，得=（0，﹣
设直线DC与平面所ADB1成角为θ， 则sinθ=|cos＜∵θ∈[0，
＞|=
，
．…..（6分） =
，
]，∴θ=
∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为
（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°， 设
=
，由A1（0，0，
），得（a﹣1，b，c）=λ（﹣a，﹣b，
），
∴，解得，
B1（0，1，），C1（﹣1，1，
），=（﹣1，0，0），=（，﹣1，﹣），
设平面的法向量为=（x，y，z），
则，取z=1，得=（0，﹣，1），…．（9分）
由（1）知，平面AB1C1D的法向量为=（0，﹣∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°， ∴cos30°=
=
=
．
，1），
由λ＞0，解得λ=2，
所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．
22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程及其离心率；
（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为值．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），由因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即其离心率e=
．…..（4分）
．（5分）
=1，
=
得x0=x，y0=
y …..（2分）
，求△AOB面积的最大
=
动点M
（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由已知
，得
．（6分）
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0， ∴x1+x2=
，x1x2=
（7分）
≤4，
∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+
当且仅当9k2=
，即k=时等号成立，此时|AB|=2．（10分）
当k=0时，|AB|=．（11分）
综上所述：|AB|max=2， 此时△AOB面积取最大值
=（12分）
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