怎么证明托勒密不等式
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托勒密定理
托勒密(Ptolemy，约公元85~165年)是古代天文学的集大成者.一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
定理
如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积.
证
设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3-107).若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立.若四边不全相等，不失一般性，设
‖BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE.
又
而
S四边形ABCD=S四边形BCDE，
所以
即
(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα.
由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，
所以
AD×BC+AB×CD=AC×BD.
说明
(1)托勒密定理可以作如下推广:“在凸四边形ABCD中，
AB×CD+AD×BC≥AC×BD.
当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立.”
由此可知，托勒密定理的逆定理也成立.
(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法.还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成.
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定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积． 证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设 ‖BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE． 又 而S四边形ABCD=S四边形BCDE， 所以 即 (AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα． 由于 ∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC， 所以 AD×BC+AB×CD=AC×BD． 说明(1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中， AB×CD+AD×BC≥AC×BD． 当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．” 由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．
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严格地说是叫“托勒密定理”，这种网上都有，我给你个网站， http://ke.baidu.com/view/148250.html 觉得好的话就选我，不好的话也没关系，反正打字很麻烦，复制过来也不好，是抄袭，楼主自己看吧。
麻烦采纳，谢谢!
