微分方程里面关于Pdx+Qdy的原函数问题
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发布时间：2022-04-22 08:02
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热心网友
时间：2022-06-18 05:59
这种方程是微分方程中的恰当方程，当dP/dy=dQ/dx实际上由二元函数的偏导数之间的关系可以知道，当二元函数f的二阶混合偏导数连续时对x先求导数后再对y求导与先对y求导再对x求导结果一样，而dP/dy=dQ/dx恰好满足这种形式，所以可以构造一个函数，使得它的全微分dF=Fxdx+Fydy=Pdx+Qdy，由P和Q已知可以求出F，具体思想如下：知道F关于x的一阶导数为P，F关于y的一阶导数为Q，所以可以先对P进行积分，把y看做不变的常数，这样就可以得到F的表达式，但这个表达式中肯定含有y的未知函数，在利用对y进行求导得到Q,可以把关于y的未知函数求出，这就是整个过程。当然也可以用数学分析中的格林公式以及曲线积分只是得出。对于dP/dy与dQ/dx不相等的情况，需要对其进行积分因子变换，因为Pdx+Qdy=0是一个方程，所以两边同时乘以一个函数也不会改变这个方方程的性质，所以可以根据这个思想，乘以一个适当的因子设为h（x，y）由于我们能对dP/dy与dQ/dx相等的情况进行求解，所以我们乘以h（x，y）后变成的形式
h（x，y）*Pdx+h（x，y）*Qdy=0要满足h（x，y）*P对y求导和h（x，y）*Q对x进行求导相等，这时可得到h（x，y）要满足一个偏微分方程，而偏微分方程很难解，比常微分方程难解的多，所以要探求某一特殊的情况，使得h（x，y）满足的这个偏微分方程能化为我们能求解的常微分方程，这样就得到特殊的一些Pdx+Qdy=0（其中dP/dy与dQ/dx不相等）求解。
内容比较多，但思想是这样的。多琢磨琢磨就明白了。
热心网友
时间：2022-06-18 05:59
这里涉及的知识比较多，主要思想是这样的：
1.Pdx+Qdy如果恰好是某个二元函数的全微分的话，方程的通解就能求出了（此时该方程称为全微分方程），比如，设
Pdx+Qdy＝(x,y)
那么方程 Pdx+Qdy=0的通解便为：u(x,y)=C
2.但Pdx+Qdy不一定恰好是某个函数的全微分，判断依据是：dP/dy=dQ/dx，
即：此式成立（当然在某个区域内），存在u(x,y)，如果此式不成立，则不存在u(x,y)
3.在不存在u(x,y)的情况下，可能可以通过乘以某个函数或式子，使得方程成为全微分方程，比如方程：xdy-ydx=0，通过判断知道它不是全微分方程，但如果乘以1/x^2,方程变形为：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通过验证可知它是全微分方程，并且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)
4.象上例这样，乘上的函数1/x^2便称为是积分因子了，一般来说，如果微分方程通过乘以某个函数变成了全微分方程，则称此函数称为该方程的积分因子。
5.若Pdx+Qdy＝(x,y)，则有/dx=P,/dy=Q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dQ/dx
反之亦然，这就是判断是否为全微分方程的依据。
热心网友
时间：2022-06-18 06:00
我们常遇见的一类函数f满足fxy及fyx在点(x,y)处都连续，数学分析知识告诉我们有 fxy(x,y)=fyx(x,y);即跟偏导顺序无关这样的话我们可以知道存在f满足题意；
即如果dP/dy=dQ/dx时则有f满足fx=p,fxy=px;fy=Q,fyx=Qx这样dP/dy=dQ/dx即fxy=fyx所以确实有f找到了为它的原函数。
热心网友
时间：2022-06-18 06:00
这就是全微分的性质
使用格林公式
只有满足了
∂q/∂x-∂p/∂y=0
才能积分与路径无关
热心网友
时间：2022-06-18 06:01
买本常微分方程的教科书吧，里面都有详细的解说和例题
