施瓦茨—皮克定理表达式
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发布时间：2024-10-21 16:18
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时间：2024-10-21 16:23
在庞加莱几何的描述中，施瓦茨-皮克定理提供了一个关键的表达式来计算两点之间的距离。这个公式以 d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right) 的形式展示，它在二维双曲圆盘模型中衡量两个复数点z_1和z_2之间的距离。其核心思想是，全纯映射通过保持庞加莱度量中的距离关系，将单位圆盘映射到自身，如果映射满足特定的等式条件，那么这个映射将是单位圆盘的解析自同构，本质上是麦比乌斯变换的体现。
对于上半平面\mathbb{H}，类似的定理表述为：对于定义在\mathbb{H}上的全纯函数f，对于任意的z_1和z_2，有不等式：
\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right| \leq \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}
同时，对于所有z，有：
\frac{\left|f'(z)\right|}{\mbox{Im }f(z)} \leq \frac{1}{\mbox{Im }(z)}
如果这两个等式中的某个等号成立，那么函数f必须是实系数的麦比乌斯变换，其形式为：
f(z)=\frac{az+b}{cz+d}
其中a,b,c,d是实数，且满足ad-bc>0。这个定理在处理复平面上的几何性质和全纯函数的性质时具有重要应用。
