二次函数
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发布时间：2022-04-22 04:39
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时间：2022-04-23 07:34
1、二次函数的定义
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．如y=3x2，y=3x2－2，y=2x2＋x－1等都是二次函数．
注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式；
(2)二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数；
(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；
(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2－x(x－1)化简后变为y=x，故它不是二次函数．
2、二次函数y=ax2的图象和性质
（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线．
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)．
①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小；当x>0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0；
②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大；当x>0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0；
③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大．
（2）二次函数y=ax2的表达式的确定
因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值．
3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
二、重点知识讲解
1、二次函数的基本特征是其函数解析式是关于自变量的二次式，在判断一个函数是否为二次函数时，应抓住这个基本特征，同时应注意a≠0这个条件.
例1、下列函数中，（x，m为自变量），哪些是二次函数？
（1）n=m2－3m＋ （2）y=－1＋x2
（3） （4）
（5）y=ax2＋bx＋c （6）
解：
根据二次函数的定义可知
（1）（2）（6）是二次函数，其中（6）式可写成，而（3）的右边不是整式．（4）是m的三次函数，（5）中a应不为0．
2、学习y=ax2的图象及性质时应着重掌握对称轴、顶点、性质；在学习性质时，应当注意a的作用，它的符号决定了抛物线的开口方向，它的绝对值决定了抛物线的开口大小。
例2、在同一直角坐标系中，
(1)画出下列函数的图象．①；②y=2x2；③；④y=－2x2；
(2)说出四个图象的区别与联系．
分析：
列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数放在一起，把y=2x2和y=－2x2放在一起列表时要方便些．一般情况下，包括顶点，描出5至7个点即可．连线时要注意平滑，图象的两边要伸展出去．
解：(1)①列表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
84.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
y=2x2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
y=－2x2
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
②描点；
③连线．如图所示．
(2)四个图象的区别与联系，如下表：
函数
区别 联系
图象开口方向
抛物线位置
开口大小
y=2x2
a>0，开口向上
抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴上方，并向上无限延伸
当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽
四个图象的顶点都是原点，对称轴都是y轴
y=－2x2a<0，开口向下
抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴下方，并向下无限延伸
当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽
反思：①对于y=2x2和y=－2x2，|a|>1，在选取x的值时，每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便．
②一定要对图象仔细观察，常误认为|a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小．而实际上恰好相反，即|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
③用平滑曲线连接各点时，两点间不能出现直线的情况．
例3、已知抛物线y=ax2经过点A(－2，－8)．
(1)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上：
(2)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
分析：
先把点A(－2，－8)代入抛物线的表达式y=ax2中，确定a的值，从而确定抛物线y=ax2的表达式，再把B点坐标代入验证是否满足抛物线的表达式，最后将y=－6代入表达式，即通过解方程求出横坐标．
解：
(1)把(－2，－8)代入y=ax2得－8=a(－2)2．
∴a=－2．∴抛物线的关系式为y=－2x2．
∵－4≠－2×(－1)2，∴点B(－l，－4)不在此抛物线上．2)由－6=－2x2，得，
∴抛物线上纵坐标为－6的点有两个，即(，－6)和(，－6)．
反思：由于抛物线是轴对称图形，所以除顶点外，每一个y值都对应着两个x值．注意不要漏掉一个．
例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x2－2和y=2x2＋3的图象，观察图象，可得出哪些结论？
解析：
按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得．
解：（1）列表：
x
－2
－1
0
1
2
……
y=2x2－2
10.5 6
0
－2
0
6
10.5
……
y=2x2＋3
15.5
11
5
3
5
11
15.5
……
（2）描点；
（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线．
设y=2x2＋3 ①和y=2x2－2 ②
观察两函数图象可知：
1）①、②的图象形状相同；
2）开口方向相同，都向上；
3）对称轴都是y轴；
4）①的图象顶点坐标是（0，3），②的图象顶点坐标是（0，－2），其中①的图象可以看成是②的图象向上平移5个单位得到，反之②的图象也可以看成是①的图象向下平移5个单位得到．
5）当x<0时，①、②中y的值随x增大而减小，当x=0，①、②中y=0，当x>0时，①、②中y的值随x增大而增大．
三、难点知识突破
1、对二次函数概念的理解
例5、已知函数(m是常数)．当m为何值时，此函数为二次函数?
分析：
根据二次函数的定义知m2－3m－2=2且m＋1≠0．即当m=4(m=－1不合题意，舍去)时，y=5x2＋3x是二次函数．
解：
由题知m2－3m－2=2，m＋1≠0，解得m=4．∴当m=4时，此函数为二次函数．
误区警示：
在求解本题时，既要考虑x的最高次项的指数为2，又要考虑它的系数不为0，缺一不可，否则容易犯顾此失彼的错误．
2、数形结合是数学的重要思想之一，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的顶点的纵坐标对应着Y的最值；它的图象与X轴的位置关系对应着Y的符号。下面以两道简单的例题进行说明。例6、求下列函数的最值：
（1）y=3x2 （2）y=-3x2
解析：
（1）由y=3x2的图象可知，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，因此，顶点为图象的最低点，顶点的纵坐标为y的最小值。
（2）同理由y=-3x2的图象可知当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，因此，顶点为图象的最高点，顶点的纵坐标为y的最大值。
3、二次函数Y=ax2＋c的表达式的确定
二次函数y=ax2＋c的表达式中含有a、c两个字母系数，一般需要两个的条件并用待定系数法确定a、c即可．有时在实际问题中，还需要根据抛物线的位置和形状来设出函数表达式，再利用待定系数法来确定函数表达式．
例7、已知抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)和B(n，－1)，求抛物线的解析式．
分析：
先由两点A、B在直线y=x＋1上，分别求得m，n的值，从而得A、B两点的坐标，又抛物线过A、B两点，代入表达式中，解方程组得出结论．
解：
∵抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)，B(n，－1)，
∴A(1，2)，B(－2，－1)．代入抛物线的表达式中，得
解这个方程组，得a=－1，c=3．
故抛物线的表达式为y=－x2＋3．
反思：解题次序很重要，本题应该先由A、B在直线上，求得m，n的值，然后再用待定系数法求a、c的值，从而得到抛物线的表达式．另外，点在直线或抛物线上，则点的坐标适合直线或抛物线对应的表达式．
1、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
2、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，对二次函数y=ax2＋bx＋c可通过配方求其顶点坐标与对称轴．
二次函数y=ax2＋bx＋c总可通过配方得
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，同时由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到．
第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
根据二次函数图象的基本特征，通常采用五点法．
步聚：（1）先根据函数的解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求出抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴的交点；
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D，将这五个点按从左到右的顺序连接起来．
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图，如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接起来，画出二次函数的图象．
5、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x-h)2＋k（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(x1，0)，(x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
（1）平移的方向的确定是一个难点，对此，我们可以通过顶点的变化情况来决定。例如：y=x2＋2x＋3顶点坐标为(-1，2)，y=x2顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到(-1，2)，因此，将y=x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到y=x2＋2x＋3。
（2）左右平移改变的是x的值，上下平移改变的是y的值，一般地，左加右减，上加下减。例如：y=x2＋2x＋3向右平移1个单位，得到y=(x－1)2＋2(x－1)＋3，向下平移2个单位，就得到y=(x－1)2＋2（x－1）＋3－2，整理后就得到y=x2。
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式。如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式。
三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)作出草图；
(3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；
(4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
(1)．
∵，∴抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
(2)抛物线与x轴的交点是(－10，0)，(－2，0)，与y轴的交点是(0，10)，草图如图所示．
(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；
当x=－10或x=－2时，y=0；
当－10＜x＜－2时，y＜0．
(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：
画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、抛物线y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A．a＜0，b＞0，c=0 B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c=0 D．a＜0，b＞0，c＜0分析：
由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴交于O点，则x=0时，y=0，得c=0，故排除B，D.对称轴在y轴左侧，则，a、b同号f，因a＜0，故b＜0．所以选C．
答案：C
反思：
由图象确定a，b，c的符号，其中a，c的符号可直观得到．只有b的符号的确定较繁，但也有技巧，只要看对称轴的位置即可，若对称轴在y轴左侧，则a、b同号；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号，简称“左同，右异”．
例3、(2006年，黄冈模拟)一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
分析：
此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
∴y=(x＋1)2＋1．
答案：y=2(x＋1)2＋1，等
反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据*条件作答．
例4、已知二次函数的图象的顶点是（1，-8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．
分析：
因为已知二次函数图象顶解法四：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y=a(x-1)2－8．
把(3，0)代入上式，得O=a(3－1)2－8．∴a=2．
∴二次函数关系式为y=2(x－1)2－8=2x2－4x－6.
解法五：∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x2，0），则1=.
∴x2=－1.∴设二次函数关系式为y=a(x+1)(x-3).
把（1，－8）代入上式，得－8=a·2·（-2）．∴a=2．
∴二次函数关系式为y=2(x＋1)（x－3）=2(x2－2x－3)=2x2-4x-6．
反思：
求二次函数关系式方法，应根据具体问题是灵活应用，选取最简方案．
例5、如图，已知抛物线y=x2－ax＋a＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线DC∥x轴，交抛物线于另一点C．动点P以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ，CB．设点P的运动时间为t秒．
(1)求a的值；
(2)当t为何值时，PQ∥y轴；
(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．
分析：
(1)将D(0，8)代入抛物线的表达式中可求出a的值；
(2)当PQ∥y轴时，DP=OQ，用t的关系式分别表示DP的长和OQ的长，即可求出t的值；点及与x轴一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．
(3)应用可求出t的值，此时实质是解含t的方程．
解：
(1)∵D(0，8)在抛物线上，
∴a＋2=8，∴a=6，
(2)当a=6时，抛物线的表达式为：y=x2－6x＋8．
当y=8时，x2－6x=0，
∴x1=0，x2=6．
即C点坐标为(6，8)．
当y=0时，x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4．
∴A(2，0)，B(4，0)．
∴CP=2t，AQ=t．
∴P(6－2t，8)，Q(2＋t，0)．
由6－2t=2＋t，解得．
即当秒时，PQ∥y轴．
(3) ．
由4t＋8=14，得．∴当秒时，四边形PQBC的面积是14．
反思：
函数与几何知识相结合，一定要依据几何性质找到变量间的数量关系．同时注意平面直角坐标系中，与y轴平行的直线上的点的纵坐标相同．
